Este curso desenvolverá o aluno na percepção da importância e do grau de aplicabilidade das equações diferenciais na modelagem matemática em situações concretas.
Equações diferenciais de primeira ordem. Propriedades gerais das equações. Equações diferenciais lineares de segunda ordem. Equações diferenciais de ordem superior. Problemas de valor inicial e problemas de contorno. Fator integrante. Equações não homogêneas. Equação de Cauchy-Euler. Transformada de Laplace. Transformada inversa e Transformada Derivadas. Teoremas de translação. Propriedades operacionais. Derivação e Integração das Transformadas de Laplace. Resolução de Equações Diferenciais por Transformadas de Laplace. Aplicações das Transformadas de Laplace. Definição de Funções Periódicas. Sequencias e séries numéricas e de potência. Séries Trigonométricas. Definição de Série de Fourier. Condição de Convergência das Séries de Fourier. Desenvolvimento de Séries de Fourier. Definição de Funções Pares e Ímpares. Séries de Fourier de Senos e Cossenos. Aplicações.
Objetivos
- Compreender o conceito de equação diferencial;
- Resolver de quaisquer ordem;
- Aplicar em situações-problema;
- Aplicar os conceitos da transformada de Laplace;
- Identificar e desenvolver séries numéricas, de potência e trigonométricas;
- Definir corretamente Série de Fourier;
- Desenvolver e aplicar Séries de Fourier.
Ementa do Curso
- Integrais impróprias.
- Sequências e séries numéricas.
- Critérios de convergência.
- Convergência absoluta e condicional.
- Séries de Potências.
- Raio de convergência.
- Derivação e integração termo-a-termo.
- Série de Taylor.
- Séries de Fourier.
- Convergência pontual.
- Desigualdade de Bessel e Identidade de Parseval.
- Equações diferenciais ordinárias de 1ª. e 2ª. ordem.
- Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n com coeficientes constantes.
- Método de variação de parâmetros e coeficientes a determinar.
- Resolução de equações diferencias por séries de potências.
Softwares
Existem softwares frewares que são ótimos para o estudo de Cálculo A.
- Winplot (em Português). Software para exibir gráficos de função. Pode-se utilizar no Linux (Ubuntu, etc.) com o Wine;
- Para plotar funções online (sem instalar nada) veja Ploting on-line;
- Maxima (Windows) / (Mac) / (Linux). Este software possui versão do Linux (originalmente foi feito para o Linux). Coloquei aqui o link para Windows. Usuários do Ubuntu podem instalar com as ferramentas usuais. Instale o WxMaxima que inclui a interface gráfica. Com ele pode-se calcular limite, derivada e integral analiticamente. Chamamos de CAS Computer Algebra System, pois faz as contas simbolicamente (soma frações e etc) e trabalha com precisão infinita (calcula fatorial de 100, por exemplo).
Cálculo: Volume 1
Edição Português | por James Stewart, Daniel Clegg, e outros.
Cálculo: Volume 2
Edição Português | por James Stewart, Daniel Clegg, e outros.
Pack Cálculo - Vol. I + Pré-Cálculo - Operações, Equações, Funções E Trigonometria
por James Stewart (Autor), Francisco Magalhães Gomes (Autor)
O poder do infinito: Como o cálculo revela os segredos do universo
por Steven Strogatz (Autor), Paulo Afonso (Tradutor)
ASPECTOS GERAIS
- Equações diferenciais ordinárias.
- Equações diferenciais parciais.
- Ordem de uma equação.
- Equação linear.
- Equação não linear.
- Soluções.
- Solução Trivial.
- Soluções Explícitas e Implícitas.
- Família de soluções a n-parâmetros.
- Solução particular.
- Solução Singular.
- Solução Geral.
- Modelo matemático.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM
- Problema de valor inicial.
- Condição Inicial. Existência de uma solução.
- Unicidade de uma solução.
- Separação de variáveis.
- Função Homogênea.
- Equação homogênea.
- Diferencial exata.
- Equação exata.
- Fator de integração.
- Equação linear.
- Solução geral.
- Aplicações.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
- Problema de valor inicial.
- Condição Inicial.
- Problema de valor de contorno.
- Condições de Contorno.
- Dependência linear.
- Independência linear.
- Wronskiano.
- Equação Homogênea.
- Equação não-homogênea.
- Principio de superposição.
- Conjunto fundamental de soluções.
- Solução geral.
- Solução completa.
- Solução particular.
- Função complementar.
- Redução de ordem.
- Equação auxiliar.
- Equação característica.
- Fórmula de Euler.
- Coeficientes indeterminados.
- Operador diferencial.
- Operador anulador.
- Variação dos parâmetros.
- Aplicações.
INTRODUÇÃO A SÉRIES DE FORIER
- Funções periódicas.
- Exemplo fundamental.
- Séries de Fourier.
- Linearidade dos coeficientes de Fourier.
- Extensão par e ímpar.
- Séries dos Cossenos e Senos.
- Continuidade e Diferenciabilidade por Partes.
- Convergências.
- Integração e Derivação das Séries de Fourier.
- Convergência em Média.
- Aplicações.
INTRODUÇÃO A TRANSFORMADA DE FOURIER / INTRODUÇÃO A TRANSFORMADA DE LAPLACE
- Operação Linear.
- Transformada de Laplace.
- Transformada Linear.
- Ordem exponencial.
- Transformada de Laplace inversa.
- Primeiro teorema de translação.
- Função degrau unitária.
- Segundo teorema de translação.
- Convolução.
- Teorema de Convolução.
- Equação Integral de Volterra.
- Impulso unitário.
- Função delta de Dirac.
