Um leitor perguntou-me recentemente:
Gostaria de saber como encontrar a equação de uma função quadrática a partir de seu gráfico, inclusive quando ela não corta o eixo \(x\). Obrigado.
Modelagem
Esta é uma boa pergunta porque vai ao coração de muita matemática “real”. Muitas vezes, temos um conjunto de pontos de dados de observações em um experimento, digamos, mas não sabemos a função que passa por nossos pontos de dados. (A maior parte da matemática “livro de texto” é o contrário − dá a você a função primeiro e pede que você insira valores nessa função.)
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. A parábola pode estar na orientação “pernas para cima” ou “pernas para baixo”.
Sabemos que uma equação quadrática estará na forma:
\(y = ax^2 + bx + c\)
Nosso trabalho é encontrar os valores de \(a\), \(b\) e \(c\) depois de observar o gráfico pela primeira vez. Às vezes é fácil identificar os pontos por onde passa a curva, mas muitas vezes precisamos estimar os pontos.
Vamos começar com o caso mais simples. (Vamos supor que o eixo da parábola dada é vertical.)
Parábola corta o gráfico em 2 lugares
Podemos ver no gráfico que as raízes da quadrática são:
\(x = −2\) (uma vez que o gráfico corta o \(x\) − axis em \(x = −2)\); e
\(x = 1\) (uma vez que o gráfico corta o \(x\) − axis em \(x = 1\). )
Agora, podemos escrever nossa função para o quadrático da seguinte maneira (já que se resolvermos o seguinte para 0, obteremos nossos dois pontos de interseção):
\(f(x) = (x + 2) (x − 1)\)
Podemos expandir isso para dar:
\(f ( x ) = x^2 + x − 2\)
Esta é uma função quadrática que passa pelo eixo x nos pontos requeridos.
Mas esta é a resposta correta?
Observe que meu gráfico passa por \(−3\) no eixo \(y\). Vamos substituir \(x = 0\) na equação que acabei de verificar se está correto.
\(f(0) = 0^2 + 0 − 2 = −2\) Não é correto!
Acontece que há um número infinito de parábolas passando pelos pontos \((−2,0)\) e \((1,0)\).
Aqui estão alguns deles (em verde):
E não se esqueça das parábolas na orientação “pernas para baixo”:
Então, como encontramos a função quadrática correta para a nossa pergunta original (aquela em azul)?
Método do Sistema de Equações
Para encontrar a função quadrática exclusiva da nossa parábola azul, precisamos usar 3 pontos na curva. Podemos então formar 3 equações em 3 incógnitas e resolvê-las para obter o resultado desejado.
Na curva azul original, podemos ver que ela passa pelo ponto \((0, −3)\) no eixo \(y\). Nós vamos usar isso como o nosso terceiro ponto conhecido.
Usando nossa forma geral do quadrático, \(y = ax^2 + bx + c\), substituímos os valores conhecidos por \(x\) e \(y\) para obter:
Substituindo \((−2,0)\):
\(0 = a(−2)^2 + b(−2) + c = 4a − 2b + c\)
Substituindo \((1,0)\):
\(0 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c\)
Substituindo \((0,−3)\):
\(−3 = a(0)^2 + b(0) + c = c\)
Então nós temos \(c = −3\).
Substituindo \(c = −3\) na primeira linha dá:
\(4a − 2b = 3\); e substituindo na segunda linha dá:
\(a + b = 3\)
Multiplicando a última linha por 2 dá:
\(2a + 2b = 6\)
Adicionando isso a \(4a − 2b = 3\) dá:
\(6a = 9\)
Isso dá \(a = 1,5\).
Substituindo \(a = 1,5\) em \(a + b = 3\), obtemos \(b = 1,5\).
Então a função quadrática correta para o gráfico azul é
\(f(x) = 1,5x^2 + 1,5x − 3\)
Observamos que o valor “\(a\)” é positivo, resultando em uma orientação de “pernas para cima”, como esperado.
Método do vértice
Outra maneira de fazer isso é observar o vértice (o “extremo pontudo”) da parábola.
Podemos escrever uma parábola em “forma de vértice” como segue:
\(y = a (x − h)^2 + k\)
Para esta parábola, o vértice está em \((h, k)\).
Em nosso exemplo acima, não podemos dizer onde o vértice está. É próximo \((−0,5, −3,4)\) , mas “próximo” não nos dará uma resposta correta. (Se não houver outros pontos “bons” nos quais possamos ver o gráfico passando, teríamos que usar nossa estimativa.)
O próximo exemplo mostra como podemos usar o Método do Vértice para encontrar nossa função quadrática.
Um ponto tocando o eixo \(x\)
Esta parábola toca o eixo \(x\) apenas em \((1, 0)\).
Se usarmos \(y = a(x − h)^2 + k\), podemos ver a partir do gráfico que \(h = 1\) e \(k = 0\).
Isso nos dá \(y = a(x − 1)^2\). Qual é o valor de “\(a\)”?
Mas, como no caso anterior, temos um número infinito de parábolas passando \((1, 0)\). Aqui estão alguns deles:
Neste exemplo, a curva azul passa por \((0, 1)\) no eixo \(y\), portanto podemos simplesmente substituir \(x = 0\), \(y = 1\) em \(y = a(x − 1)^2\) da seguinte maneira:
\(1 = a (−1)^2\)
Isso nos dá \(1 = 1.\)
Então nossa função quadrática para este exemplo é
\(f(x) = (x − 1)^2 = x^2 − 2x + 1\)
Nota: Poderíamos também utilizar o fato de que o valor x do vértice da parábola \(y = ax^2 + bx + c\) é dado por:
\(x = -\frac{b}{2a}\)
Nenhum ponto tocando o eixo \(x\)
Aqui está um exemplo onde não há interceptação de \(x\).
Podemos ver que o vértice está em \((−2, 1)\) e o intercepto \(y\) está em \((0, 2)\).
Nós apenas substituímos como antes na forma de vértice de nossa função quadrática.
Temos
\((h, k) = (−2, 1)\)
e em \(x = 0\), \(y = 2\).
Assim
\(y = a(x − h )^2 + k\)
Torna-se
\(2 = a(0 − (−2))^2 + 1\)
\(2 = 4a + 1\)
\(a = 0,25\)
Então nossa função quadrática é:
\(f(x) = 0,25 (x − (− 2))^2 + 1\)
\(f(x) = 0,25 (x + 2)^2 + 1\)
\(f(x) = 0,25 (x^2 + 4x + 4) + 1\)
\(f(x) = 0,25x^2 + x + 2\)
Usando o software de matemática para encontrar a função
a. Wolfram | Alpha
Esta pesquisa do Wolfram | Alpha dá a resposta para o meu último exemplo.
b. Excel
Você poderia usar o MS Excel para encontrar a equação. Insira os pontos nas células, como mostrado, e obtenha o Excel para fazer o gráfico usando “XY scatter plot”. Isso dá a curva preta mostrada. Em seguida, clique com o botão direito do mouse na curva e escolha “Adicionar linha de tendência”. Escolha “Polinômio” e “Ordem 2”. (Isso dá a parábola azul como mostrado abaixo).
Na guia “Opções“, escolha “Exibir equação no gráfico“.
Nós obtemos o seguinte resultado.
c. GeoGebra
O GeoGebra não foi tão útil para esta tarefa. O GeoGebra nos dará a equação de uma parábola, mas você precisa conhecer primeiro o foco e a diretriz. Isto não é tão simples de observações de um gráfico.
Conclusão
Encontrar a equação de uma parábola dados certos pontos de dados é uma habilidade que vale a pena em matemática. Parábolas são muito úteis para modelagem matemática por causa de sua simplicidade.
