Multiplicação e divisão
Começamos com uma revisão do que significa multiplicar e dividir números inteiros. O resultado da multiplicação dos números reais é chamado de produto e o resultado da divisão é chamado de quociente. Lembre-se de que a multiplicação é equivalente a adicionar:
$$3 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 = 12$$
Claramente, o produto de dois números positivos é positivo. Da mesma forma, o produto de um número positivo e negativo pode ser escrito como mostrado:
$$3 × (−4) = (−4) + (−4) + (−4) + (−4) = −12$$
Vemos que o produto de um número positivo e um negativo é negativo. Em seguida, explore os resultados da multiplicação de dois números negativos. Considere os produtos na ilustração a seguir e tente identificar o padrão:
Isso mostra que o produto de dois números negativos é positivo. Para resumir,
positivo × positivo = positivo
positivo × negativo = negativo
negativo × negativo = positivo
As regras para divisão são as mesmas porque a divisão sempre pode ser reescrita como multiplicação:
\(\frac{-10}{2}=-10\times \frac{1}{2}=-5\) e \(\frac{-10}{-2}=-10\times \left (\frac{1}{2} \right )= 5\)
As regras de multiplicação e divisão não devem ser confundidas com o fato de que a soma de dois números negativos é negativa.
Exemplo 1: Simplifique:
- $$(−3) + (−5)$$
- $$(−3)(−5)$$
Solução: Aqui nós adicionamos e multiplicamos os mesmos dois números negativos.
- O resultado da adição de dois números negativos é negativo.
$$(−3) + (−5) = −3 − 5$$
$$= −8$$
- O resultado da multiplicação de dois números negativos é positivo.
$$(−3)(−5) = 15$$
Respostas: a. −8; b. 15
Dados quaisquer números reais a, b e c , temos as seguintes propriedades de multiplicação:
| Propriedade de fator zero | a × 0 = 0 × a = 0 |
| Propriedade de identidade multiplicativa: | a × 1 = 1 × a = a |
| Propriedade associativa: | (a × b) × c = a × (b × c) |
| Propriedade comutativa: | a × b = b × a |
Exemplo 2: Simplifique:
- $$5 × 0$$
- $$10 × 1$$
Solução:
a. Multiplicar por zero resulta em zero.
$$5 × 0 = 0$$
b. Multiplicar qualquer número real por um resulta no mesmo número real.
$$10 × 1 = 10$$
Respostas: a. 0; b. 10
Exemplo 3: Simplifique:
- $$(3 × 7) × 2$$
- $$3 × (7 × 2)$$
Solução:
- $$(3 × 7) × 2 = 21 × 2 = 42$$
- $$3 × (7 × 2) = 3 × 14 = 42$$
O valor de cada expressão é \(42\). A alteração do agrupamento dos números não altera o resultado.
$$(3 × 7) × 2 = 3 × (7 × 2) = 42$$
Respostas: a. 42; b. 42
Neste ponto, destacamos que a multiplicação é comutativa: a ordem em que nos multiplicamos não importa e produz o mesmo resultado.
$$2 × 9 = 9 × 2$$
$$18 = 18$$
Por outro lado, a divisão não é comutativa.
$$10 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 10$$
$$2 \neq \frac{1}{2}$$
Use essas propriedades para executar operações sequenciais envolvendo multiplicação e divisão. Ao fazer isso, é importante executar essas operações na ordem da esquerda para a direita.
Exemplo 4: Simplifique:
$$3(−2)(−5)(−1)$$.
Solução: multiplique dois números de cada vez da seguinte forma:
Resposta: −30
Como a multiplicação é comutativa, a ordem em que nos multiplicamos não afeta a resposta final. Quando operações sequenciais envolvem multiplicação e divisão, a ordem importa; Portanto, devemos trabalhar as operações da esquerda para a direita para obter um resultado correto.
Exemplo 5: Simplifique:
$$10 ÷ (−2)(−5)$$.
Solução: execute a divisão primeiro; caso contrário, o resultado será incorreto.
Resposta: 25
Observe que a ordem na qual multiplicamos e dividimos afeta o resultado final. Portanto, é importante realizar as operações de multiplicação e divisão conforme aparecem da esquerda para a direita.
Exemplo 6: Simplifique:
$$−6(3) ÷ (−2)(−3)$$.
Solução: trabalhe as operações uma de cada vez, da esquerda para a direita.
$$−6(3) ÷ (−2)(−3)$$
$$= −18 ÷ (−2)(−3)$$
$$= 9(−3)$$
$$= −27$$
Tente isso! Simplifique:
$$−5 ÷ 5 × 2(−3)$$.
Resposta: 6
Em aplicativos baseados em texto, o símbolo usado para multiplicação é o asterisco (*) e o símbolo usado para divisão é a barra (/).
\(5 * 3\) e \(14/2 = 7\)
O conjunto de inteiros pares é o conjunto de todos os inteiros que são uniformemente divisíveis por 2. Também podemos obter o conjunto de inteiros pares multiplicando cada inteiro por 2.
{…, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, …} Inteiros pares
O conjunto de inteiros ímpares é o conjunto de todos os inteiros que não são divisíveis por 2.
{…, −5, −3, −1, 1, 3, 5, …} Inteiros ímpares
Um número primo é um número inteiro maior que \(1\) que é divisível somente por \(1\) e por ele mesmo. O menor número primo é \(2\) e o resto é necessariamente ímpar.
{2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …) Números primos
Qualquer número inteiro maior que 1 que não seja primo é chamado de número composto e pode ser escrito como um produto de primos. Quando um número composto, como \(30\), é gravado como um produto,
\(30 = 2 × 15\), dizemos que \(2 × 15\)
é uma fatoração de \(30\) e que \(2\) e \(15\) são fatores. Observe que os fatores dividem o número uniformemente. Podemos continuar a escrever fatores compostos como produtos até que apenas um produto de primos permaneça.
A fatoração primária de \(30\) é
$$2 × 3 × 5$$.
Exemplo 7: Determine a fatoração primária de \(70\).
Solução: Comece escrevendo \(70\) como um produto com \(2\) como um fator. Em seguida, expresse qualquer fator composto como um produto de números primos.
$$70 = 2 × 35$$
$$= 2 × 5 × 7$$
Como a fatoração primária é única, não importa como escolhemos inicialmente fatorar o número porque o resultado final é o mesmo.
$$70 = 7 × 10$$
$$= 7 × 2 × 5$$
$$= 2 × 5 × 7$$
Resposta: A fatoração primária de 70 é 2 × 5 × 7.
Alguns testes (chamados testes de divisibilidade) úteis para encontrar fatores primos de números compostos seguem:
- Se o inteiro é par, então \(2\) é um fator.
- Se a soma dos dígitos for divisível por \(3\), então \(3\) é um fator.
- Se o último dígito for \(5\) ou \(0\), então \(5\) é um fator.
Muitas vezes, encontramos a necessidade de traduzir frases em inglês que incluam termos de multiplicação e divisão em declarações matemáticas. Abaixo estão listadas algumas palavras-chave que traduzem para a operação dada.
| Palavras-chave | Operação |
| Produto multiplicado por, de, vezes | ×, * ou ⋅ |
| Quociente, dividido por, razão, por | /, : ou ÷ |
Exemplo 8: Calcule o quociente de \(20\) e \(−10\).
Solução: A palavra chave “quociente” implica que devemos dividir.
$$20 ÷ (−10) = −2$$
Resposta: O quociente de 20 e −10 é −2.
Exemplo 9: Qual é o produto dos três primeiros inteiros pares positivos?
Solução: Os primeiros três inteiros pares positivos são \({2, 4, 6}\) e a palavra-chave “produto” implica que devemos multiplicar.
$$2 × 4 × 6 = 8 × 6$$
$$= 48$$
Resposta: O produto dos três primeiros inteiros pares positivos é \(48\).
Exemplo 10: Joe consegue dirigir 342 quilômetros com 18 galões de gasolina. Quantos quilômetros por galão de gasolina é isso?
Solução: A palavra chave “por” indica que devemos dividir o número de quilômetros acionadas pelo número de galões usados:
Resposta: Joe recebe 19 quilômetros por galão em seu veículo.
No dia a dia, muitas vezes desejamos usar um único valor que tipifique um conjunto de valores. Uma maneira de fazer isso é usar o que é chamado de média aritmética ou média. Para calcular uma média, divida a soma dos valores no conjunto pelo número de valores nesse conjunto.
Exemplo 11: Um aluno ganha \(75\), \(86\) e \(94\) nos primeiros três exames. Qual é a média do teste do aluno?
Solução: adicione as pontuações e divida a soma por \(3\).
Resposta: A média de teste do aluno é 85.
Zero e Divisão
Lembre-se da relação entre multiplicação e divisão:
Neste caso, o dividendo \(12\) é dividido uniformemente pelo divisor \(6\) para obter o quociente, \(2\). É verdade que, em geral, se multiplicarmos o divisor pelo quociente, obtemos o dividendo. Agora, considere o caso em que o dividendo é zero e o divisor é diferente de zero:
\(0 ÷ 6\) então \(6 × 0 = 0\)
Isso demonstra que zero dividido por qualquer número real diferente de zero deve ser zero. Agora considere um número diferente de zero dividido por zero:
\(12 ÷ 0 = ?\) ou \(0 × ? = 12\)
A propriedade de multiplicação do fator zero indica que qualquer número real multiplicado por \(0\) é \(0\). Concluímos que não há nenhum número real tal que
\(0 × ? = 12\)
e assim, o quociente é deixado indefinido. Tente \(12 ÷ 0\) em uma calculadora. O que isso diz? Para nossos propósitos, nós simplesmente escreveremos “indefinido“.
Para resumir, dado qualquer número real \(a ≠ 0\), então:
Somos deixados para considerar o caso em que o dividendo e o divisor são ambos zero.
\(0 ÷ 0 = ?\) ou \(0 × ? = 0\)
Aqui, qualquer número real parece funcionar. Por exemplo,
\(0 × 5 = 0\) e \(0 × 3 = 0\). Portanto, o quociente é incerto ou indeterminado.
Neste curso, afirmamos que \(0 ÷ 0\) é indefinido.
PRINCIPAIS DESCOBERTAS
- Um número positivo multiplicado por um número negativo é negativo. Um número negativo multiplicado por um número negativo é positivo.
- A multiplicação é comutativa e a divisão não é.
- Ao simplificar, trabalhe as operações de multiplicação e divisão em ordem da esquerda para a direita.
- Mesmo inteiros são números que são igualmente divisíveis por 2 ou múltiplos de 2, e todos os outros inteiros são ímpares.
- Um número primo é um número inteiro maior que 1 que é divisível somente por 1 e por ele mesmo.
- Números compostos são inteiros maiores que 1 que não são primos. Números compostos podem ser escritos exclusivamente como um produto de primos.
- A fatoração primária de um número composto é encontrada continuando a dividi-lo em fatores até restar apenas um produto de primos.
- Para calcular uma média de um conjunto de números, divida a soma dos valores no conjunto pelo número de valores no conjunto.
- Zero dividido por qualquer número diferente de zero é zero. Qualquer número dividido por zero é indefinido.
EXERCÍCIOS DE TÓPICOS
Parte A: Multiplicação e Divisão
Multiplique e divida.
- 5(−7)
- −3(−8)
- 2(−4)(−9)
- −3 × 2 × 5
- −12(3)(0)
- 0(−12)(−5)
- (−1)(−1)(−1)(−1)
- (−1)(−1)(−1)
- −100 ÷ 25
- 25 ÷ 5(−5)
- −15(−2) ÷ 10(−3)
- −5 × 10 ÷ 2(−5)
- (−3)(25) ÷ (−5)
- 6 × (−3) / (−9)
- 20 / (−5) × 2
- −50 / 2 × 5
- Determine o produto de 11 e −3.
- Determine o produto de −7 e −22.
- Encontre o produto de 5 e −12.
- Encontre o quociente negativo de vinte e cinco e cinco.
- Determine o quociente de −36 e 3.
- Determine o quociente de 26 e −13.
- Calcule o produto de 3 e −8 dividido por −2.
- Calcule o produto de −1 e −3 dividido por 3.
- Determine o produto dos três primeiros inteiros pares positivos.
- Determine o produto dos três primeiros inteiros positivos ímpares.
Determine a fatoração primária dos seguintes números inteiros.
- 105
- 78
- 138
- 154
- 165
- 330
Calcule a média dos números em cada um dos conjuntos a seguir.
- {50, 60, 70}
- {9, 12, 30}
- {3, 9, 12, 30, 36}
- {72, 84, 69, 71}
- Os primeiros quatro inteiros pares positivos.
- Os primeiros quatro números inteiros positivos ímpares.
A distância percorrida D é igual à taxa média r vezes o tempo percorrido t a essa taxa: D = r × t.
Determine a distância percorrida dada a taxa e o tempo.
- 60 quilômetros por hora por 3 horas
- 55 quilômetros por hora por 3 horas
- 15 quilômetros por hora por 5 horas
- 75 pés por segundo por 5 segundos
- 60 quilômetros por hora por 10 horas
- 60 metros por segundo por 30 segundos
- Um clube de estudantes organizou uma arrecadação de fundos para a venda de cachorros-quentes. Os estudantes venderam 122 refeições de cachorro-quente por R$ 3,00 cada. Seus custos incluíam R$ 50,00 para os cachorros-quentes e pãezinhos, R$ 25,00 para pacotes embalados individualmente de batatas fritas e US R 35,00 para os refrigerantes. Qual foi o seu lucro?
- Um homem de 230 quilos perde 4 quilos por semana durante 8 semanas. Quanto ele pesa no final de 8 semanas?
- Mary descobriu que ela era capaz de dirigir 264 quilômetros em 12 litros de gasolina. Quantas quilômetros por galão seu carro recebe?
- Depois de encher seu carro com gasolina, Bill notou que sua leitura do odômetro era de 45.346 quilômetros. Depois de usar seu carro por uma semana, ele encheu seu tanque com 14 galões de gasolina e notou que seu odômetro dizia 45.724 quilômetros. Naquela semana, quantos quilômetros por galão o carro de Bill conseguiu?
Parte B: Zero e Divisão com Prática Mista
Execute as operações.
- 0 ÷ 9
- 15 ÷ 0
- 4(−7) ÷ 0
- 7(0) ÷ (−15)
- −5(0) ÷ 9(0)
- 5 × 2(−3)(−5)
- −8 − 5 + (−13)
- −4(−8) ÷ 16(−2)
- 50 ÷ (−5) ÷ (−10)
- 49 ÷ 7 ÷ (−1)
- 3 × 4 ÷ 12
- 0 − (-8) − 12
- −8 × 4(−3) ÷ 2
- 62,0 / (− 3 × 8 × 5)
- (−4 × 3) / (2 × (- 3))
- −16 / (− 2 × 2) × 3
- −44 / 11 × 2
- 5 − 5 × 3 / (−15)
- 4 × 3 × 2/6
- −6 × 7 / (−2)
- Durante 5 dias consecutivos de inverno, as mínimas diárias foram de −7°, −3°, 0 °, −5° e −10°. Calcule a temperatura média baixa.
- Em um dia muito frio, a temperatura foi registrada a cada 4 horas, com os seguintes resultados: −16 °, −10°, 2°, 6°, −5° e −13°. Determine a temperatura média.
- Um aluno ganha 9, 8, 10, 7 e 6 pontos nos primeiros 5 quizzes de química. Qual é o seu quiz médio?
- Um site rastreado bate em sua página inicial durante o feriado de Ação de Graças. O número de acessos para cada dia, de quinta a domingo, foi de 12.250; 4.400; 7.750; e 10.200, respectivamente. Qual foi o número médio de acessos por dia durante o período de férias?
Parte C: Tópicos do Quadro de Discussão
- Demonstrar a propriedade associativa da multiplicação com quaisquer três números reais.
- Mostre que a divisão não é comutativa.
- Discuta a importância de trabalhar as operações de multiplicação e divisão da esquerda para a direita. Faça um exemplo onde o pedido é importante e compartilhe a solução.
- Discuta a divisão envolvendo 0. Com exemplos, explique por que o resultado às vezes é 0 e por que às vezes é indefinido.
- Pesquise e discuta o teorema fundamental da aritmética.
- Pesquise e discuta outros testes de divisibilidade. Forneça um exemplo para cada teste.
- A média aritmética é uma maneira de tipificar um conjunto de valores. Pesquise outros métodos usados para tipificar um conjunto de valores.
RESPOSTAS
1: −35
3: 72
5: 0
7: 1
9: −4
11: −9
13: 15
15: −8
17: −33
19: −60
21: −12
23: 12
25: 48
27: 3 × 5 × 7
29: 2 × 3 × 23
31: 3 × 5 × 11
33: 60
35: 18
37: 5
39: 180 milhas
41: 75 milhas
43: 600 quilômetros
45: R$ 256,00
47: 22 milhas por galão
49: 0
51: indefinido
53: 0
55: −26
57: 1
59: 1
61: 48
63: 2
65: −8
67: 4
69: −5°
71: 8 pontos
