Adição e Subtração (+, −)
Visualize adicionando \(3 + 2\) na linha numérica movendo de zero três unidades para a direita e depois mais duas unidades para a direita, conforme ilustrado abaixo:
A ilustração mostra que \(3 + 2 = 5\). Similarmente, visualize adicionando dois números negativos \((−3) + (−2)\) movendo primeiro da origem três unidades para a esquerda e depois movendo outras duas unidades para a esquerda.
Neste exemplo, a ilustração mostra \((−3) + (−2) = −5\), o que leva às seguintes duas propriedades de números reais.
número positivo + número positivo = número positivo
número negativo + número negativo = número negativo
Em seguida, vamos explorar a adição de números com sinais diferentes. Para adicionar \(3 + (−7)\), primeiro mova da origem três unidades para a direita, depois mova sete unidades para a esquerda como mostrado:
Nesse caso, podemos ver que adicionar um número negativo é equivalente a subtração:
$$3 + (−7) = 3 − 7 = −4$$
É tentador dizer que um número positivo mais um número negativo é negativo, mas isso nem sempre é verdade: \(7 + (−3) = 7 − 3 = 4\). O resultado da adição de números com sinais diferentes pode ser positivo ou negativo. O sinal do resultado é o mesmo que o sinal do número com a maior distância da origem. Por exemplo, os seguintes resultados dependem do sinal do número \(12\) porque é mais distante de zero que \(5\):
$$12 + (−5) = 7$$
$$−12 + 5 = −7$$
Exemplo 1: Simplifique:
\(14 + (−25)\).
Solução: Aqui \(−25\) é a maior distância da origem. Portanto, o resultado é negativo.
$$14 + (−25) = 14 − 25$$
$$= −11$$
Resposta: \(−11\)
Dados quaisquer números reais \(a, b\) e \(c\), temos as seguintes propriedades de adição:
| Propriedade de identidade aditiva: | \(a + 0 = 0 + a = a\) |
| Propriedade inversa aditiva: | \(a + (−a) = (−a) + a = 0\) |
| Propriedade associativa: | \((a + b) + c = a + (b + c)\) |
| Propriedade comutativa: | \(a + b = b + a\) |
Exemplo 2: Simplifique:
- \(5 + 0\)
- \(10 + (−10)\)
Solução:
a. Adicionar zero a qualquer número real resulta no mesmo número real.
$$5 + 0 = 5$$
b. Adicionando opostos resulta em zero.
$$10 + (−10) = 10 − 10$$
$$= 0$$
Respostas: a. 5; b. 0
Exemplo 3: Simplifique:
- $$(3 + 7) + 4$$
- $$3 + (7 + 4)$$
Solução: os parênteses agrupam as operações a serem executadas primeiro.
a. $$(3 + 7) + 4 = 10 + 4$$
$$= 14$$
b. $$3 + (7 + 4) = 3 + 11$$
$$= 14$$
Esses dois exemplos resultam em 14: alterar o agrupamento dos números não altera o resultado.
$$(3 + 7) + 4 = 3 + (7 + 4) = 14$$
Respostas: a. 14; b. 14
Neste ponto, destacamos o fato de que a adição é comutativa: a ordem em que adicionamos não importa e produz o mesmo resultado.
$$2 + 9 = 9 + 2$$
$$11 = 11$$
Por outro lado, a subtração não é comutativa.
$$2 − 9 ≠ 9 − 2$$
$$−7 ≠ 7$$
Usaremos essas propriedades, juntamente com a propriedade duplo-negativo para números reais, para executar operações sequenciais mais envolvidas. Para simplificar as coisas, faremos com que seja uma regra geral primeiro substituir todas as operações sequenciais por adição ou subtração e, em seguida, executar cada operação na ordem da esquerda para a direita.
Exemplo 4: Simplifique:
$$4 − (−10) + (−5).$$
Solução: substitua as operações sequenciais e, em seguida, execute-as da esquerda para a direita.
| $$4 − (−10) + (−5)$$ $$= 4 + 10 −5$$ | Substituir −(−) por adição (+) Substituir +(−) por subtração(−) |
| $$= 14 − 5$$ $$= 9$$ |
Resposta: 9
Exemplo 5: Simplifique:
$$−3 + (−8) − (−7).$$
Solução:
| $$−3 + (−8) − (−7) =$$ $$= −3 − 8 + 7$$ | Substituir +(−) por adição (+) Substituir −(−) por adição (+) |
| $$= −11 + 7$$ $$= −4$$ |
Resposta: $$−4$$
Tente isso! Simplifique:
$$12 − (−9) + (−6).$$
Resposta: 15
Muitas vezes, encontramos a necessidade de traduzir frases em inglês que envolvam adição e subtração a declarações matemáticas. Abaixo estão listadas algumas palavras-chave que traduzem a operação dada.
Palavras-chave | Operação |
| Soma, aumentada, mais que, mais, adicionada ao total | + |
| Diferença, diminuição, subtração de, menos que, menos | − |
Exemplo 6: Qual é a diferença de \(7\) e \(−3\)?
Solução: A palavra chave “diferença” implica que devemos subtrair os números.
$$7 − (−3) = 7 + 3$$
$$= 10$$
Resposta: A diferença de \(7\) e \(−3\) é \(10\).
Exemplo 7: Qual é a soma dos cinco primeiros inteiros positivos?
Solução: A palavra-chave inicial para focar é “soma”; Isso significa que estaremos adicionando os cinco números. Os primeiros cinco inteiros positivos são \({1, 2, 3, 4, 5}\). Lembre-se de que 0 não é positivo nem negativo.
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$
Resposta: A soma dos primeiros cinco inteiros positivos é \(15\).
Exemplo 8: O que é \(10\) subtraído da soma de \(8\) e \(6\)?
Solução: sabemos que a subtração não é comutativa; portanto, devemos tomar cuidado para subtrair na ordem correta. Primeiro, adicione \(8\) e \(6\) e subtraia \(10\) da seguinte maneira:
É importante notar que a frase “10 subtraído de” não se traduz em uma afirmação matemática na ordem em que aparece. Em outras palavras, \(10 − (8 + 6)\) seria uma tradução incorreta e leva a uma resposta incorreta. Depois de traduzir a sentença, execute as operações.
$$(8 + 6) − 10 = 14 − 10$$
$$= 4$$
Resposta: Dez subtraídos da soma de 8 e 6 são 4.
Distância em uma linha numérica
Uma aplicação do valor absoluto é encontrar a distância entre dois pontos em uma linha numérica. Para os números reais um e b, a fórmula de distância para um número de linha é dada como,
$$d = |b − a|$$
Exemplo 9: Determine a distância entre 2 e 7 em uma reta numérica.
Solução: No gráfico, vemos que a distância entre os dois números inteiros é 5 unidades.
Usando a fórmula de distância, obtemos o mesmo resultado.
$$d = |7 − 2|$$
$$= |5|$$
$$= 5$$
Resposta: 5 unidades
Exemplo 10: Determine a distância entre \(−4\) e \(7\) em uma reta numérica.
Solução: Use a fórmula de distância para uma linha numérica \(d = |b − a|\), onde \(a = −4\) e \(b = 7\)
$$d = |7 − (−4)|$$
$$d = |7 + 4|$$
$$d = |11|$$
$$d = 11$$
Resposta: 11 unidades
Acontece que não importa quais pontos são usados para a e b; o valor absoluto sempre garante um resultado positivo.
Usando \(a = −4\) e \(b = 7\) | Usando \(a = 7\) e \(b = −4\) |
| $$d = |7 − (−4)|$$ $$d = |7 + 4|$$ $$d = |11|$$ $$d = 11$$ | $$d = |−4−7|$$ $$d = |−11|$$ $$d = 11$$ |
Tente isso!
Determine a distância entre \(−12\) e \(−9\) na linha numérica.
Resposta: 3
PRINCIPAIS DESCOBERTAS
- Um número positivo adicionado a um número positivo é positivo. Um número negativo adicionado a um número negativo é negativo.
- O sinal de um número positivo adicionado a um número negativo é o mesmo que o sinal do número com a maior distância da origem.
- A adição é comutativa e a subtração não é.
- Ao simplificar, é uma prática recomendada primeiro substituir as operações sequenciais e depois trabalhar as operações de adição e subtração da esquerda para a direita.
A distância entre quaisquer dois números em uma reta numérica é o valor absoluto de sua diferença. Em outras palavras, dado qualquer números reais \(a\) e \(b\), utilize a fórmula \(d = |b − a|\) para calcular a distância \(d\) entre eles.
EXERCÍCIOS DE TÓPICOS
Parte A: adição e subtração
Adicione e subtraia.
- 24 + (−18)
- 9 + (−11)
- −31 + 5
- −12 + 15
- −30 + (−8)
- −50 + (−25)
- −7 + (−7)
- −13 − (−13)
- 8 − 12 + 5
- −3 − 7 + 4
- −1 − 2 − 3 − 4
- 6 − (−5) + (−10) − 14
- −5 + (−3) − (−7)
- 2 − 7 + (−9)
- −30 + 20 − 8 − (−18)
- 10 − (−12) + (−8) − 20
- 5 − (−2) + (-6)
- −3 + (−17) − (−13)
- −10 + (−12) − (−20)
- −13 + (−5) − (−25)
- 20 − (−4) − (−5)
- 17 + (−12) − (−2)
Traduza cada sentença para uma afirmação matemática e depois simplifique.
- Encontre a soma de 3, 7 e −8.
- Encontre a soma de −12, −5 e 7.
- Determine a soma dos dez primeiros inteiros positivos.
- Determine a soma dos inteiros no conjunto {−2, −1, 0, 1, 2}.
- Encontre a diferença de 10 e 6.
- Encontre a diferença de 10 e −6.
- Encontre a diferença de −16 e −5.
- Encontre a diferença de −19 e 7.
- Subtraia 12 de 10.
- Subtraia −10 de −20.
- Subtraia 5 de −31.
- Subtraia −3 de 27.
- Dois menos de 8.
- Cinco menos que −10.
- Subtraia 8 da soma de 4 e 7.
- Subtraia -5 da soma de 10 e −3.
- Subtraia 2 da diferença de 8 e 5.
- Subtraia 6 da diferença de -1 e 7.
- Fernando fez um depósito de R$ 200 em sua conta corrente na terça-feira. Ele então escreveu 4 cheques de R$ 50,00, R$ 125,00, R$ 60,00 e R$ 45,00. qual foi o depósito total?
- O atacante jogou quatro partidas de futebol neste campeonato. Ele marcou 7 gols mas perdeu 3 gols. Quantos gols ele marcou nesse campeonato?
- A receita de um fotógrafo local para o mês é de R$ 1.200. Seus custos incluem um aluguel de estúdio de R$ 600, adereços que custam R$ 105, taxas de materiais de R$ 135 e uma maquiadora que cobra R$ 120. Qual é o seu lucro total para o mês?
- Um avião voando a 30.000 pés perdeu 2.500 pés de altitude e depois subiu 1.200 pés. Qual é a nova altitude do avião?
- A temperatura era de 22° às 6:00 da tarde e caiu 26° à meia-noite. Qual foi a temperatura à meia-noite?
- Uma enfermeira tem 30 mililitros de solução salina, mas precisa de 75 mililitros da solução. Quanto mais ela precisa?
- A largura de um retângulo é 2 cm menor que seu comprimento. Se o comprimento mede 16 cm, determine a largura.
- A base de um triângulo é 3 m mais curta que sua altura. Se a altura mede 5 m, encontre o comprimento da base.
Parte B: Distância em uma linha numérica
Encontre a distância entre os números fornecidos em uma linha numérica.
- 3 e 12
- 8 e −13
- −25 e −10
- −100 e −130
- −7 e −20
- 0 e −33
- −10 e 10
- −36 e 36
- A temperatura mais fria da Terra, −129° F, foi registrada em 1983 na estação Vostok, na Antártida. A temperatura mais quente do planeta, 136° F, foi registrada em 1922 em Al ‘Aziziyah, Líbia. Calcule o intervalo de temperatura da Terra.
- A temperatura alta diária foi registrada como 91° F e a baixa foi registrada como 63° F. Qual foi a faixa de temperatura do dia?
- Um estudante ganhou 67 pontos em seu teste mais baixo e 87 pontos no seu melhor. Calcule seu intervalo de pontuação do teste.
- Em um dia agitado, um determinado site pode ter 12.500 acessos. Em um dia lento, pode ter apenas 750 acessos. Calcule o intervalo do número de ocorrências.
Parte C: Tópicos do Quadro de Discussão
- Compartilhe um exemplo de adição de números assinados em um aplicativo do mundo real.
- Demonstrar a propriedade associativa de adição com quaisquer três números reais.
- Mostre que a subtração não é comutativa.
RESPOSTAS
1: 6
2: −2
3: −26
4:
5: −38
6: −75
7: −14
8: 0
9: 1
10: −6
11: −10
12: − 13
13: −1
14: −14
15: 0
16:
17: 1
18: −4
19: −2
20: 7
21: 29
22: 7
23: 2
24:
25: 55
27: 4
29: −11
31: −2
33: −36
35: 6
37: 3
39: 1
41: R$ 80
43: R$ 240
45: −4°
47: 14 polegadas
49: 15 unidades
51: 15
53: 13
55: 20
57: 265° F
59: 20 pontos
60: 11.750 acessos
61:
62:
63: A adição, a propriedade comutativa diz:
a + b = b + a
7 + 3 = 3 + 7 = 10
Aplicada à subtração:
a − b = b − a ??
7 − 3 = 4
3 − 7 = −4
4 diferente de – 4
Então, a subtração NÃO permite a propriedade comutativa
