Por exemplo, em um cenário matemático formal, a afirmação “Esta sentença é improvável” é tanto verdadeira quanto formalmente improvável. Quando Gödel publicou seu teorema em 1931, ele acabou com o estudo dos fundamentos da matemática e suas consequências ainda são sentidas hoje.
As duas tribos de Se
No Oceano da Dedução está a ilha lógica de Se. As pessoas nascidas aqui pertencem a uma das duas tribos: os Aleitamos e os Pseudiano. A única maneira de diferenciar um Aletiano de um Pseudiano é conversando com eles. Aletianos sempre falam a verdade, não importa o que estejam dizendo. Os pseudianos sempre dirão falsidades, não importa o que estejam dizendo.
No centro da ilha, o Mestre dos Aletianos guarda o Livro de Identidade, um livro que lista os nomes de todos os nascidos na ilha junto com sua tribo. As informações no Livro de Identidade estão corretas e disponíveis gratuitamente para qualquer pessoa que solicitar.
Um dia, um intrépido explorador chega a Se. Ele encontra vários habitantes e os identifica como Aletianos e Pseudianos fazendo perguntas inteligentes.
Depois de vários encontros bem-sucedidos, ele conhece um homem chamado Kurt. O explorador não sabe sua afiliação tribal, mas antes que ele tenha tempo de fazer uma pergunta, Kurt diz: “Você nunca terá evidências concretas que confirmem que sou um Aletiano”.
- Kurt é um Aletiano, um Pseudiano ou nenhum dos dois?
- Como isso pode se relacionar com o teorema da incompletude de Gödel?
Solução
1. Kurt não é nenhum dos dois
Se ele era um pseudiano, então a afirmação “Você nunca terá evidências concretas que confirmem que eu sou um Aletiano” é verdadeira. Mas os pseudianos nunca dizem a verdade, então Kurt não pode ser pseudiano.
Se ele era Aletiano, então tudo o que ele diz e, portanto, também a afirmação “Você nunca terá evidências concretas que confirmem que eu sou um Aletiano” é verdade. Mas sabemos que a afirmação é falsa, pois o explorador pode ir ao Livro de Identidade, procurar seu nome e verificar se ele é Aletiano. Então Kurt não é Aletiano.
Concluindo: Kurt não nasceu na ilha de Se.
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2. O teorema da incompletude de Gödel afirma que existem afirmações matemáticas verdadeiras, mas não demonstráveis formalmente
Uma versão desse quebra-cabeça nos leva a algo semelhante: um exemplo de uma afirmação que é verdadeira, mas não há evidências concretas de sua veracidade.
Por exemplo, suponha que o explorador seja a primeira pessoa a pisar na ilha que não nasceu lá, então todos são Aletianos ou Pseudianos, e que o explorador saiba disso. Imaginemos também que, no momento em que Kurt fala, o livro-razão se transforma em cinzas. (A destruição do livro razão é para evitar cair nas autocontradições que vimos em 1.)
Pelo nosso argumento anterior, nenhum Pseudiano jamais pode proferir a declaração de Kurt, então Kurt não pode ser um Pseudiano. Assim, por nossa suposição adicional de que todos nasceram em Se, ele deve ser um Aletiano e, portanto, seu enunciado é verdadeiro, ou seja, o explorador nunca terá evidências concretas de que ele é um Aletiano.
Mas ele também nunca terá evidências concretas de que a própria declaração de Kurt é verdadeira: se ele tiver, seria uma evidência concreta de que ele é um Aletiano (já que apenas aqueles falam a verdade). Mas isso diria que a afirmação é falsa.
Portanto, o enunciado de Kurt é verdadeiro, mas não há evidências concretas de sua veracidade. De fato, sua sentença é precisamente o tipo de declaração auto referencial que forma a base da prova de Gödel de seu teorema da incompletude. Para repetir o que eu disse no início da história: em um cenário matemático formal, a afirmação “Esta sentença é improvável” é verdadeira e formalmente improvável.
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Em resumo, a ilha de Se é um lugar mágico onde todas as declarações verdadeiras sobre a identidade tribal podem ser verificadas no Livro de Identidade. Quando retiramos o Livro, no entanto, não demora muito para encontrar uma sentença verdadeira para a qual não há evidências concretas.
O mundo da matemática é análogo ao Se sem o Livro de Identidade. A matemática não tem acesso direto à verdade, o que leva à existência de afirmações que são verdadeiras e improváveis.
Espero que tenham gostado do quebra-cabeça de hoje.
