
A prova que abalou a matemática
O teorema afirma que em qualquer sistema matemático razoável sempre haverá afirmações verdadeiras que não podem ser provadas. O resultado foi um grande choque para a comunidade matemática, onde a visão predominante era um otimismo inabalável sobre o poder e o alcance de seu assunto. Supunha-se que a matemática era “completa”, o que significa que todas as afirmações matemáticas são prováveis ou refutáveis. Gödel, de 25 anos, demonstrou que isso estava incorreto ao construir uma afirmação verdadeira que não era demonstrável. A matemática, ele anunciou, tem seus limites.
O teorema da incompletude transformou o estudo dos fundamentos da matemática e se tornaria um resultado importante para a ciência da computação, pois mostra que todos os sistemas formalizados, como linguagens de codificação, têm limitações no que podem alcançar.
O teorema também está no cerne do quebra-cabeça de hoje, do qual falaremos em breve.
A prova de Gödel de seu teorema é baseada na auto referência: em um cenário matemático formal, a afirmação “Esta sentença é improvável” é tanto verdadeira quanto formalmente improvável.
Os detalhes técnicos da prova são difíceis. No entanto, o lógico americano Raymond Smullyan (1919-2017) desenvolveu uma maneira brilhante de transmitir a essência do teorema da incompletude usando quebra-cabeças lógicos simples sobre contadores da verdade e mentirosos. O teaser de hoje é inspirado na abordagem de Smullyan.
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As duas tribos de Se
No Oceano da Dedução está a ilha lógica de Se. As pessoas nascidas aqui pertencem a uma das duas tribos: os Aletianos e os Pseudianos. A única maneira de diferenciar um Aletiano de um Pseudiano é conversando com eles. Aletianos sempre falam a verdade, não importa o que estejam dizendo. Os pseudodianos sempre dirão falsidades, não importa o que estejam dizendo.
No centro da ilha, o Mestre dos Aletianos guarda o Livro da Identidade, um livro que lista os nomes de todos os nascidos na ilha junto com sua tribo. As informações no Livro de Identidade estão corretas e disponíveis gratuitamente para qualquer pessoa que solicitar.
Um dia, um intrépido explorador chega a Se. Ele encontra vários habitantes e os identifica como Aletianos e Pseudianos fazendo perguntas inteligentes.
Depois de vários encontros bem-sucedidos, ele conhece um homem chamado Kurt. O explorador não sabe sua afiliação tribal, mas antes que ele tenha tempo de fazer uma pergunta, ele diz: “Você nunca terá evidências concretas que confirmem que sou um Aletiano”.
- Kurt é um Aletiano, um Pseudiano ou nenhum dos dois?
- Como isso pode se relacionar com o teorema da incompletude de Gödel?
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O quebra-cabeça Gödeliano de hoje é uma celebração do Dia Mundial da Lógica da UNESCO, que ocorre anualmente em 14 de janeiro. (A data foi escolhida por ser o dia da morte de Gödel, em 1978, e o dia do nascimento do lógico Alfred Tarski, em 1901.)