Talvez o mais prudente a fazer, antes de avançar em uma explicação sobre o Múltiplo de um número, seja revisar brevemente algumas definições, que nos permitirão compreender esta categoria matemática, em seu contexto preciso.
Definições fundamentais
Nesse sentido, também pode ser necessário centrar esta revisão teórica em três noções específicas: a primeira delas será a definição de inteiros, uma vez que estes serão os números com base nos quais os diferentes múltiplos serão determinados ou obtidos.
Da mesma forma, será necessário também reservar um momento para trazer para este artigo os conceitos de multiplicação e divisão, pois as operações diretamente relacionadas nos procedimentos destinados a verificar se um número é múltiplo de outro, ou, pelo contrário, obter quais são os múltiplos de um número inteiro específico. A seguir, cada uma dessas definições:
Inteiros
Desta forma, começaremos dizendo que a Matemática definiu os Números Inteiros como aqueles elementos numéricos, por meio dos quais é possível dar expressão escrita a quantidades exatas, ou à ausência delas. Da mesma forma, esta disciplina apontou que os inteiros serão considerados como constituintes do Conjunto Numérico Z, ao mesmo tempo que se pressupõe que sejam compostos por três tipos diferentes de elementos, os quais foram explicados da seguinte forma:
Inteiros positivos: primeiro, dentro dos inteiros, os inteiros positivos serão encontrados. Esses números estarão localizados na reta numérica à direita do zero, ponto de origem de onde se estenderão, sempre à direita, em direção ao infinito. Eles têm um sinal positivo, que às vezes não é escrito, mas simplesmente dado como certo. Sua função será contabilizar valores exatos específicos. Considera-se que esses números também constituem o conjunto dos Números Naturais.
Inteiros negativos: os inteiros negativos também serão entendidos como parte do conjunto de inteiros. Localizam-se à esquerda de zero na Linha Numérica, ponto de onde se estenderão ao infinito, sempre seguindo o sentido oposto ao dos inteiros positivos, dos quais são considerados seus inversos . Esses números têm um sinal negativo, que deve ser sempre anotado ao lado do número. Esses números são usados para indicar a ausência ou débito de um determinado valor exato.
Zero: por fim, dentro dos Inteiros também será incluído o zero, que ficará localizado no meio da Reta Numérica, servindo então de limite e ponto de origem, tanto inteiros positivos quanto negativos. Porém, o zero não terá nenhum desses dois sinais, pois em si não é um número, mas um elemento ou símbolo, usado pela matemática para expressar a ausência total de quantidade.
Multiplicação
Em segundo lugar, o conceito de Multiplicação também deve ser levado em consideração, uma operação matemática que pode ser definida como o procedimento por meio do qual um número específico é adicionado por si mesmo tantas vezes quanto um segundo número envolvido indica, portanto, alguns teóricos têm opinado essa multiplicação também pode ser vista como uma soma abreviada.
Por se tratar de uma Multiplicação entre inteiros, muitas vezes os fatores podem contar com sinais diferentes, ou mesmo ser ambos o sinal negativo. Neste tipo de operações, a multiplicação deve ser resolvida como se fosse um procedimento entre números naturais, e depois colocar o produto obtido o sinal correspondente, que é determinado por sua parte de acordo com a Regra dos Sinais.
Divisão
Por fim, será necessário também trazer para o capítulo o conceito de Divisão, operação que será entendida, à luz do que indicam os diversos textos matemáticos, como um procedimento que visa descobrir quantas vezes um número está contido, que atua como um Divisor, em um número, que cumpre a função de Dividendo. Esta operação também é entendida como multiplicação inversa.
Na hora de provocar divisões onde estejam envolvidos números inteiros de sinais diferentes, ou de sinais negativos, procederá dividindo os números, como se fossem números naturais, enquanto ao quociente obtido será colocado o sinal correspondente, de acordo com a Regra dos Sinais aplicada aos sinais que originalmente possuíam o dividendo e o divisor.
Múltiplos de um número
Uma vez que cada uma dessas definições foi revisada, pode então ser muito mais fácil abordar uma explicação dos múltiplos de um número, que deve ser entendido como todos os números que podem ser considerados como os produtos obtidos da multiplicação daquele inteiro por todos os inteiros que existem. Desta forma, será criado um conjunto separado, composto por todos esses produtos, que serão então entendidos como os múltiplos do inteiro com base nos quais foram determinados.
Como encontrar múltiplos de um número
No entanto, pode ser melhor explicar como encontrar os múltiplos de um número inteiro específico por meio de um exemplo específico, como o mostrado abaixo:
Encontre múltiplos de +6:
Ao iniciar este exercício, será necessário multiplicar +6 por cada um dos inteiros positivos, pois essas operações indicarão quais são os múltiplos positivos de +6:
6 × 1 = 6
6 × 2 = 12
6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30
6 × 6 = 36
6 × 7 = 42
6 × 8 = 48
6 × 9 = 54
6 × 10 = 60
Portanto, podemos concluir que: Múltiplo de um número = Número × Qualquer inteiro (não uma fração)
Desse modo, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 e 60 fazem parte do grupo de múltiplos positivos de +6, pois são produtos da multiplicação desse número por outros inteiros.
No entanto, dentro dos inteiros também existem inteiros negativos, então +6 também pode ser multiplicado por números negativos, obtendo-se assim múltiplos negativos. Por exemplo:
6 × −1 = −6
6 × −2 = −12
6 × −3 = −18
6 × −4 = −24
6 × −5 = −30
6 × −6 = −36
6 × −7 = −42
6 × −8 = −48
6 × −9 = −54
6 × −10 = −60
Da mesma forma, mesmo que os bens tenham sinais negativos, −6, −12, −18, −24, −30, −36, −42, −48, −54 e −60, são considerados múltiplos de −6 porque são bens obtido multiplicando este número por outros inteiros.
Como saber se um número é múltiplo de outro
Por outro lado, se queremos saber se um número é múltiplo ou não de outro, em vez de usar a multiplicação devemos usar a divisão. Nesse sentido, o número com o valor mais alto será tomado e descartado como Dividendo, enquanto o número com o valor mais baixo servirá como Divisor. Em seguida, é feita a divisão, e se o resultado for um número inteiro, ou seja, se a divisão for exata, considera-se que o número questionado é certamente um múltiplo do número procurado.
Da mesma forma, pode ser necessário dar um exemplo concreto que nos permita ver na prática como proceder sempre que precisarmos saber se um número inteiro específico é na verdade um múltiplo de outro número inteiro. Aqui está um deles:
Determine se o número 6 é um múltiplo de 2:
Dados esses números, será necessário dividir o número 6 por 2:
6 ÷ 2 = 3
Ao fazê-lo, será obtida uma divisão exata, bem como um quociente composto por um inteiro, de modo que se conclui que, na verdade, 6 é um múltiplo de 2. Assim também acontece que se decidirmos multiplicar 2 pelo quociente obtido 3, o resultado é novamente 6, então verifica-se que certamente 6 é um múltiplo de 2.
Lista de Múltiplos
Podemos listar os múltiplos de um número multiplicando o número dado por um inteiro (negativo ou positivo). Notavelmente, um número pode ter um número infinito de múltiplos. Aqui está uma lista dos múltiplos de alguns números.
| Número | Dez primeiros múltiplos (diferente de zero) |
| 3 | 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 |
| 4 | 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 |
| 5 | 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 |
| 10 | 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 |
Propriedades de múltiplos
As propriedades dos múltiplos nos falam sobre eles em detalhes. Aqui estão algumas das propriedades dos múltiplos que nos falam sobre a natureza dos múltiplos.
Cada número é um múltiplo de si mesmo.
Por exemplo, o primeiro múltiplo diferente de zero de 7 é 7 porque 7 × 1 = 7
Os múltiplos de um número são infinitos.
Sabemos que os números são infinitos. Portanto, os múltiplos de um número são infinitos. Por exemplo, se precisarmos listar os múltiplos de 3, começamos com: 3, 6, 9, 12, 15, 18,…. e assim por diante. No entanto, você conseguirá listar todos os múltiplos aqui? Não, porque eles são infinitos.
O múltiplo de um número é maior ou igual ao próprio número.
Por exemplo, tomemos os múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30,.… E assim por diante. Podemos ver que: O 1º múltiplo de 5 é igual a 5 × 1 = 5. O 2º múltiplo, o 3º múltiplo e os seguintes múltiplos de 5 são todos maiores que 5 (10 > 5, 15 > 5, … .)
Fatores e múltiplos
Fatores e múltiplos estão relacionados entre si. Um fator é um número que divide outro número completamente sem nenhum resto, enquanto um múltiplo é o produto que é obtido quando um número é multiplicado por outro número. Por exemplo, em 3 × 4 = 12, 3 e 4 são os fatores de 12, enquanto 12 é um múltiplo de 3 e 4.
Múltiplos Comuns
Um múltiplo comum é um número que é um múltiplo compartilhado para um determinado conjunto de números. Em outras palavras, os múltiplos comuns a dois ou mais números são denominados os múltiplos comuns desses números. Por exemplo, os múltiplos de 3 podem ser listados como 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 , 27 e assim por diante. Os múltiplos de 4 podem ser listados como 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 e assim por diante. Agora, se identificarmos os múltiplos comuns de 3 e 4 nessas duas listas, obteremos 12 e 24.
Exemplos resolvidos em múltiplos
Exemplo 1:
Quatro amigos Duda, José, Samuca e Toim decidiram colher flores do jardim na ordem dos primeiros quatro múltiplos de 7. Você pode listar o número de flores que cada um deles arrancou como uma série dos quatro primeiros múltiplos de 7 (excluindo zero)?
Solução:
Os primeiros quatro múltiplos de 7 são (7 × 1) = 7, (7 × 2) = 14, (7 × 3) = 21 e (7 × 4) = 28. Portanto, Ria arrancou 7 flores, Joe arrancou 14 flores, Sam arrancou 21 flores e Tom arrancou 28 flores.
Exemplo 2:
Ana adora regar plantas. Sua professora pediu-lhe que regasse os potes marcados na ordem dos múltiplos de 9. No entanto, ela perdeu alguns potes. Você pode ajudá-la a identificar os potes que ela perdeu na seguinte lista: 9, 18, __, 36, __, 54, 63, 72, __?
Solução:
Vamos começar a contar a tabuada de 9: 9 × 1 = 9, 9 × 2 = 18, 9 × 3 = 27, 9 × 4 = 36, 9 × 5 = 45, 9 × 6 = 54, 9 × 7 = 63, 9 × 8 = 72, 9 × 9 = 81.
∴ Os potes perdidos são 27, 45 e 81.
Perguntas frequentes sobre múltiplos
Múltiplos, em matemática, são números que obtemos quando multiplicamos um número inteiro por outro número inteiro. Por exemplo, em 7 × 5 = 35, 35 é o múltiplo de 7 e 5.
Um fator é um número que divide outro número completamente sem nenhum resto. Um múltiplo é um produto obtido quando um número é multiplicado por outro número. Por exemplo, em 6 × 8 = 48, 6 e 8 são os fatores de 48, enquanto 48 é um múltiplo de 6 e 8.
Obtemos os múltiplos de um número quando multiplicamos o número dado por outro número. Em outras palavras, um múltiplo é o produto que obtemos quando um número é multiplicado por outro número. Por exemplo, se dissermos 8 × 5 = 40, aqui 40 é um múltiplo de 8 e 5. Os outros múltiplos de 8 podem ser listados como 8 (8 × 1 = 8), 16 (8 × 2 = 16), 24 (8 × 3 = 24) e assim por diante.
Não há limite para os múltiplos de um número. Em outras palavras, um número tem um número incontável ou infinito de múltiplos.
Os múltiplos de 5 podem ser encontrados pelo seguinte método. 5 (5 × 1 = 5), 10 (5 × 2 = 10), 15 (5 × 3 = 15) e assim por diante. Portanto, eles podem ser listados como: 5, 10, 15, 20, 25 e assim por diante.
Os múltiplos de 4 são 4, 8, 12, 16, 20 e assim por diante. Eles podem ser calculados pela forma simples de multiplicação. 4 (4 × 1 = 4), 8 (4 × 2 = 8), 12 (4 × 3 = 12) e assim por diante.
Os múltiplos de 2 podem ser listados como 2, 4, 6, 8, 10, 12 e assim por diante. Curiosamente, esta também é uma lista de todos os números pares, já que todos os números pares são múltiplos de 2.
Múltiplos são produtos que obtemos quando multiplicamos um número inteiro por outro número inteiro. Por exemplo, 2 × 3 = 6. Aqui, 6 é o múltiplo de 3 e 2. Os outros múltiplos de 2 podem ser listados como 2, 4, 6, 8, 10, 12 e assim por diante.
Os múltiplos de 3 podem ser listados como 3, 6, 9,12,15 e assim por diante. Esses múltiplos podem ser calculados simplesmente multiplicando 3 pelos números de contagem, como, 3 (3 × 1 = 3), 6 (3 × 2 = 6), 9 (3 × 3 = 9) e assim por diante.
