Antes de avançarmos na explicação das várias Propriedades Matemáticas, presentes nas potências dos inteiros, é provável que algumas definições, que nos permitirão compreender cada uma dessas leis em seu contexto, devam ser brevemente revistas, o que nos permitirá entender cada uma dessas leis em seu contexto matemático preciso.
Definições fundamentais
Também pode ser prudente delimitar esta revisão teórica a duas noções precisas. A primeira, a definição de Números Inteiros, para levar em consideração a natureza dos elementos numéricos envolvidos. Da mesma forma, será de grande importância revisar o conceito de Potências de inteiros, pois essa é a operação matemática com base na qual cada uma dessas propriedades matemáticas acontece. Aqui estão cada uma dessas definições:
Inteiros
Desta forma, abordaremos primeiro o conceito de Inteiros, que tem sido explicado pela Matemática como os elementos numéricos através dos quais as quantidades exatas são representadas. Da mesma forma, os números inteiros são entendidos como os elementos sobre os quais se constitui o conjunto numérico de mesmo nome, ou também conhecido como conjunto \(Z\), e onde esses números são agrupados da seguinte forma:
Inteiros positivos: por um lado, os inteiros positivos – um número que por sua vez constituem os Números Naturais — serão colocados à direita do zero na linha numérica. Devem se estender de \(1\) a \(∞\), e através deles pode contabilizar quantidades contábeis, ou contar os elementos de um conjunto.
Inteiros negativos: em segundo lugar, serão encontrados os inteiros negativos, números que são considerados inversos dos inteiros negativos, razão pela qual estarão localizados à esquerda do zero, na reta numérica, estendendo-se de \(−1\) a \(∞\). Esses números serão usados para expressar dívidas ou contravenções de valores específicos, e devem ser sempre anotados na companhia do sinal de menos.
Zero: Finalmente, zero também é considerado um elemento do conjunto \(Z\). Porém, não é tido como um número, mas como a ausência total de quantidade. Consequentemente, esse elemento não será positivo nem negativo e será considerado o inverso de si mesmo.
Total de poderes numéricos
Em outra ordem de ideias, será igualmente importante lançar luzes sobre a definição de potências de inteiros, que podem ser explicadas amplamente como a operação matemática, ocorrendo estritamente em relação a números inteiros, onde um primeiro número deste tipo (que irá ser chamado de base) opta por se multiplicar, tantas vezes quanto aponta para um segundo número (conhecido como expoente) para o propósito de conhecer o produto (que receberá o nome de potência).
Propriedades de potência inteiras
Com essas definições em mente, talvez seja certamente muito mais fácil abordar a explicação sobre cada uma das Propriedades Matemáticas que ocorrem na operação de Potências Inteiras, e podem ser listadas da seguinte forma:
Potências inteiras com expoente zero
Em primeiro lugar, será então que sempre que houver uma operação de potência envolvendo inteiros, e essa potência tiver um expoente igual a zero , independentemente da quantidade ou sinal da base, o resultado será sempre igual a um. Esta propriedade pode ser expressa da seguinte forma:
$$a^{0} = 1$$
Potências inteiras com expoente 1
Por outro lado, a Matemática também aponta que qualquer operação de potenciação que se dê na base de inteiros, onde o expoente é igual a 1, além do valor ou sinal da base, obterá sempre como potência o número equivalente que serviu como base. Esta propriedade será expressa matematicamente da seguinte forma:
$$a^{1} = a$$
Produto de potências inteiras de base igual
Assim, dentro das diferentes propriedades matemáticas que ocorrem nas potências com inteiros, você encontrará isso que se refere à situação sustentada entre duas potências de base igual que escolheram se multiplicar. Nesse caso, a Matemática nota que a propriedade ordena que uma única base seja assumida, os valores de seus expoentes são somados e, finalmente, a base é elevada ao total dos expoentes. Esta situação pode ser explicada da seguinte forma:
$$a^{m} × a^{n} = a^{m + n}$$
Proporção de potência igual de base inteira
Da mesma forma, potências de base igual podem decidir se dividir. Nesse caso, a propriedade matemática indica que uma única base é assumida, o valor de seus expoentes subtraído e, por fim, eleva a base para a diferença de expoentes, situação que pode ser explicada matematicamente da seguinte forma:
$$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m − n}$$
Propriedade de uma potência de inteiros
Outra das propriedades matemáticas que podem ser encontradas em relação às potências dos inteiros é a chamada Potência de uma Potência, onde esta disciplina então ordena que os expoentes envolvidos se multipliquem, para então elevar a base para isso obtendo a potência necessária. Esta propriedade será expressa da seguinte forma:
$$(a^{m})^{n} = a^{m × n}$$
Propriedade distributiva na multiplicação de potências de inteiros e expoentes iguais
Também pode resultar em duas potências de bases diferentes, mas de expoentes iguais escolhendo se multiplicar. Nesse caso, a Propriedade Distributiva pode ser aplicada, permitindo que seja resolvida de duas formas:
O primeiro permitirá resolver o produto da base, e então elevar este resultado ao expoente comum:
$$a^{n} × b^{n} = (ab)^{n}$$
Em segundo lugar, cada uma das bases pode ser elevada ao expoente comum e, em seguida, multiplicada por cada um dos poderes:
$$(a × b)^{n} = a^{n} × b^{n}$$
Propriedade distributiva na divisão de potência de inteiros de igual expoente
Além disso, a propriedade distributiva pode estar disponível ao enfrentar a divisão de poderes envolvendo números inteiros, e ter um único expoente. Nesse caso, tais transações também podem ser resolvidas de duas formas, graças à propriedade distributiva:
Desta forma, pode ser resolvido calculando em quociente de base e, em seguida, elevando este resultado ao expoente comum:
$$a^{m} ÷ b^{m} = (a ÷ b)^{m}$$
Outra opção para resolver este tipo de operações será aquela em que cada uma das bases é elevada ao expoente comum e , a seguir, procede-se à divisão dos diferentes quocientes.
