Por que usamos a letra X para representar o desconhecido?

Por que usamos a letra X para representar o desconhecido?

Como praticantes primários, nosso papel é ajudar as crianças a perceber que a álgebra não consiste apenas em colocar letras no lugar de números, mas em pensar de uma maneira diferente.

Em álgebra, muitas vezes somos solicitados a resolver \(x\), e, no português, a letra x é frequentemente usada para representar o desconhecido ─ o \(X\) marca o ponto, raios X e o Sr. X, por exemplo. Mas como essa letra em particular ficou associada a tanto mistério?

Na TED Talk, Terry Moore rastreia o uso da letra \(x\) na álgebra com a palavra árabe al-shalan, que significa “a coisa desconhecida”, alegando que, nas traduções da escrita de matemáticos árabes, essa palavra ficou ligada à letra grega chi (Χ – χ – chi) e depois nos alcançou através do latim e, eventualmente, do português. É uma história interessante ─ e uma explicação semelhante até aparece no dicionário Noah Webster ─ mas é verdade?

Na verdade, o uso de \(x\) (bem como de \(y\) e \(z\) ) tornou-se comum graças ao uso de René Descartes das três últimas letras do alfabeto para representar quantidades desconhecidas em seu tratado La Géométrie. Em seu estudo clássico A History of Mathematical Notations, Florian Cajori diz que não há nenhuma evidência histórica para a conexão árabe com o uso de \(x\) por Descartes e, de fato, lista uma série de outras histórias associadas à letra: Alguns escritores afirmaram que Descartes queria usar \(x\) como a quantidade desconhecida porque a letra aparece com pouca frequência em francês e latim, tornando-a conveniente para a composição. (No entanto, Descartes usou \(x\) como um desconhecido muito antes de o livro ser impresso, embora alguns autores se perguntam se isso explica a eventual predominância do \(x\) em detrimento do \(y\) e \(z\).) Outros notaram semelhanças entre a letra \(x\) e o símbolo matemático alemão comum para o desconhecido, e propuseram que Descartes traduzisse esse símbolo alemão como um \(x\). (Descartes na verdade usa esse símbolo ao lado de \(x\).) Ainda outra hipótese propõe que \(x\) era um numeral 1 cruzado, com base na notação de Cataldi da primeira potência do desconhecido.

Pode não ser uma explicação tão sexy, mas Descartes pode simplesmente ter visto as letras no final do alfabeto como notações convenientes para o desconhecido ─ em contraste, ele tinha \(a\), \(b\) e \(c\) representando o conhecido. Outros matemáticos da época estavam brincando com suas próprias notações, como JH Rahn, que usava letras minúsculas para representar quantidades desconhecidas e letras maiúsculas para representar quantidades conhecidas. Talvez haja outras razões pelas quais o \(x\) eventualmente se tornou mais comum na escrita de Descartes do que \(y\) e \(z\).

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Quando as letras são números: Mistério, magia e mambo-jambo

Conheci pessoas que realmente não confiam nas letras como símbolos matemáticos ─ talvez porque tiveram uma experiência negativa com álgebra na escola. Na verdade, esta parece ser uma das áreas da matemática que muitos adultos ficam muito felizes em confessar nunca ter entendido bem, e para a qual eles vêem pouca utilidade no mundo adulto! Neste artigo, falaremos sobre o que a álgebra realmente é, por que ela é importante e como podemos fazer ligações realmente seguras da álgebra informal nos estágios primários para a álgebra mais formal do currículo secundário.

O que é álgebra?

Provavelmente, é mais fácil descrever o pensamento algébrico do que a própria álgebra. Sugerimos três ideias principais:

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1. Álgebra como aritmética abstrata

A álgebra às vezes é chamada de aritmética generalizada ou abstrata. Isso significa explorar os números e como eles se combinam e se familiarizar com ideias como o inverso. Isso começa na escola primária e, quando bem feito, pode estabelecer uma base sólida para a álgebra formal. Os professores que ajudam as crianças a compreender os princípios subjacentes (por exemplo, passar de “se eu sei que \(7 + 3 = 10\), o que mais eu sei?” Para “Se eu souber \(359 + 763 = 1122\), o que mais eu sei?” essas redes de conexões nas quais eles podem recorrer quando começam o estudo formal da álgebra “Se eu sei que \(a + b = c\), o que mais eu sei?”.

Então, como começamos a introduzir números desconhecidos a serem calculados e descobertos? Como começamos a ensinar álgebra?

As perguntas com números ausentes são baseadas em fatos conhecidos ou em conexões conhecidas. Colocar o que precisa ser descoberto em qualquer lugar, exceto no final de uma equação, geralmente começa oralmente e é baseado em fatos conhecidos.

“O que você precisa adicionar a sete para fazer dez?” ─ O que você sabe que pode ajudar?

“O que eu preciso tirar de seis para deixar quatro?” ─ O que você sabe que pode ajudar?

Lacunas, caixas e formas

Um problema do Fundamental I (1º Ano), que vem na forma de um simples jogo de calculadora, é o Número Secreto. Outra é a Linhas de Números, que usa tiras numeradas em vez de calculadoras. Ambos são simplesmente expressos algebricamente na forma \(n + a = b\) ou \(n ─ a = b\) e se prestam a representar o desconhecido por um símbolo ou letra.

No 2º Ano, existem várias questões em que as formas representam números. Jogo das Formas Geométricas é um exemplo simples. As três primeiras perguntas poderiam ser igualmente bem escritas

\(7 + a + 17 = 25\)

\(17 + 14 + b = 21\) e

\(14 + 2c + 34 = 136\).

Forma Vezes Forma é possivelmente mais difícil porque a multiplicação é geralmente mais difícil do que a adição, menos informações numéricas são fornecidas e todos os exemplos estão inter-relacionados. No entanto, este é um bom exemplo de onde símbolos diferentes representam números diferentes, mas em cada caso o mesmo símbolo representa o mesmo número.

Todos esses exemplos (e existem muitos mais) ajudam as crianças a se acostumarem a representar um desconhecido por um símbolo, seja uma caixa, outra forma ou uma letra. A próxima etapa é começar a manipular essas formas ou símbolos de acordo com as regras algébricas.

Site para referências em Jogos Matemático

2. Álgebra como linguagem

Álgebra é a linguagem da matemática. As crianças eventualmente precisarão ser capazes de ler, escrever e manipular números e símbolos em fórmulas, expressões, equações e desigualdades. Ser fluente na linguagem da álgebra significa compreender seu vocabulário (ou seja, símbolos e variáveis) e ser capaz de usar a gramática correta, ou seja, regras algébricas.

O significado do sinal de igual muda de ser interpretado nos primeiros anos como “é” ou “faz”, ou no caso de subtração como “folhas”, para uma compreensão de equilíbrio. Quando eu fiz álgebra na escola (muitos anos atrás!), aprendemos métodos que levavam todas as incógnitas, ou todas de uma determinada letra, para um lado da equação. O sinal de igual expressa um equilíbrio. Faça a mesma coisa com os dois lados e ambos se equilibrarão. Esta ideia é expressa de forma organizada usando um equilíbrio numérico, às vezes chamado de “Barra de equilíbrio” e às vezes de “Equalizador”.

3. A álgebra como ferramenta de modelação matemática

Isso significa resolver um problema do mundo real usando o pensamento algébrico e, mais tarde, configurar equações ou desigualdades e resolvê-las usando regras algébricas. Nos níveis iniciais, o problema pode ser resolvido da melhor maneira usando tentativa e aprimoramento, mas algumas crianças já terão maneiras mais sofisticadas (e potencialmente algébricas) de pensar sobre os problemas.

Modelagem

No Fundamental I, encontrei pela primeira vez em “Ovos nas cestas” e “Muitos pirulitos”. Esses são os tipos de problemas que são mais bem resolvidos na prática com contadores. Isso também é verdadeiro para cabeças e pés, que é simples usando contadores (cabeças) e bastões (pernas). Esta é uma versão de um problema com números muito simples que aparecem em muitas formas e em muitos lugares diferentes. Uma variação muito mais complicada, porque as pernas não estão em pares e menos informações são fornecidas, é Zios e Zepts. Algumas crianças podem usar símbolos para representar diferentes incógnitas e algumas podem até criar equações formais. Muitos outros, entretanto, usarão o pensamento algébrico, mesmo que não o registrem usando símbolos.

Desafio 1: Ovos nas cestas

São três cestos, uma marrom, uma vermelho e uma rosa, com um total de dez ovos.

  • A cesta marrom tem mais um ovo do que a cesta vermelha.
  • A cesta vermelha tem três ovos a menos que a cesta rosa.
  • Quantos ovos há em cada cesta?

Desafio 2: Muitos pirulitos

Xico e Ricardo receberam um saco de pirulitos.

Eles os dividiram de maneira uniforme e sobrou um.

Assim que eles terminaram de compartilhá-los, seus amigos Euler, Ticão e Paulo apareceram. Eles queriam alguns pirulitos também, então as crianças os dividiram novamente entre todos eles. Desta vez, sobraram dois pirulitos.

Quantos pirulitos poderia haver na sacola?

Assim que você tiver a chance de pensar sobre isso, veja abaixo para ver como três grupos diferentes de alunos começaram a trabalhar na tarefa.

Sara, Daniela e Sônia disseram:

"Percebemos que 17 funciona como quando há apenas dois deles, eles obtêm 8 cada um, com um sobrando. Mas quando seus amigos chegam, eles ganham três, cada um e 2 sobraram. Também notamos que 7 funciona e 27 funcionam, bem como 107. "

Beta começou assim:

Se as duas crianças terminarem com um pirulito, deve haver um número ímpar de pirulitos. Em seguida, mais três crianças vêm fazendo o número total de 5 crianças. Diga que eles tinham 1 pirulito cada um quando eles os compartilhassem, o número de pirulitos seria 7 porque 1 vezes 5 é 5 adicionar 2 para os que sobraram e dá sete. Se continuarmos com isso para 10 pirulitos cada um que mostra:

  • 1 pirulito a cada ─ 7 pirulitos
  • 2 pirulitos a cada ─ 12 pirulitos
  • 3 pirulitos a cada ─ 17 pirulitos
  • 4 pirulitos a cada ─ 22 pirulitos
  • 5 pirulitos a cada ─ 27 pirulitos
  • 6 pirulitos a cada ─ 32 pirulitos
  • 7 pirulitos a cada ─ 37 pirulitos
  • 8 pirulitos a cada ─ 42 pirulitos
  • 9 pirulitos a cada ─ 47 pirulitos
  • 10 pirulitos a cada ─ 52 pirulitos

Aqui está o início do trabalho de Francisca e Alícia:

Você pode pegar cada uma dessas ideias iniciais e desenvolvê-las em uma solução?

Desafio 3: Zios e Zepts.

No planeta Vuvs, existem dois tipos de criaturas. Os Zios têm 3 pernas e os Zepts têm 7 pernas.

O grande explorador planetário Nico, que primeiro descobriu o planeta, viu uma multidão de Zios e Zepts. Ele conseguiu ver que havia mais de um de cada tipo de criatura antes que o vissem. De repente, todos eles rolaram de costas e levantaram as pernas.

Ele contou 52 pernas. Quantos Zios e quantos Zepts havia?

Você acha que existem respostas diferentes?

n é qualquer número

Existe outra maneira importante de usar as letras na matemática escolar. A letra não é um desconhecido a ser descoberto, mas uma generalização que cobre muitos exemplos diferentes. Há alguns meses, eu estava trabalhando com uma turma do 5º e 6º anos em um problema que exigia uma generalização. Era um momento ideal para usar, na verdade, acabou que era para apresentar, uma letra resumindo o que estávamos fazendo. Convencionalmente, usei “n”. A classe, incluindo o professor, parecia confusa. Obviamente, eles não tinham conhecido isso antes.

“n”, eu disse, “representa qualquer número.” Escrevi “qualquer” no quadro com um ‘n’ muito ampliado. Os rostos de todos se iluminaram e a professora sorriu. Fiquei bastante satisfeito. Parecia uma explicação feliz, embora um tanto errônea, de por que eu estava usando “n”!

E agora?

A matemática secundária depende das crianças terem experiências positivas com o pensamento algébrico em seus primeiros anos de escolaridade. Como praticantes primários, nosso papel é ajudar as crianças a perceber que a álgebra não consiste apenas em colocar letras no lugar de números, mas em pensar de uma maneira diferente.

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