Como muitos estudantes de matemática, eu sonhava com a grandeza matemática. Eu pensei que estava perto uma vez. Um difícil problema de álgebra na faculdade me manteve trabalhando até altas horas da noite. Depois de horas de luta, senti um avanço chegando. Eu habilmente manipulei expressões. Fatorei, multipliquei e simplifiquei, até que minha descoberta finalmente se revelou:
\(1 + 1 = 2\).
Eu não posso deixar de rir. O mundo já sabia disso \(1 + 1 = 2\), então o “teorema de Honner” não aconteceu. E embora muitos jovens matemáticos tenham experimentado a concepção de um avanço que não foi totalmente inovador, a notável história de Daniel Larsen mantém o sonho vivo.
Larsen era um estudante do ensino médio em 2022 quando provou um resultado sobre um certo tipo de número que havia escapado às matemáticas por décadas. Ele provou que os números de Carmichael – um tipo curioso de número não exatamente primo – puderam ser encontrados com mais frequência do que se sabia anteriormente, estabelecendo um novo teorema que ficará para sempre associado ao seu trabalho. Então, quais são os números de Carmichael? Para responder a isso, precisamos voltar no tempo.
Pierre de Fermat tem seu nome em um dos teoremas mais famosos da matemática. Por mais de 300 anos, o Último Teorema de Fermat apareceu como o símbolo máximo da grandeza matemática inatingível. Nos anos 1600, Fermat rabiscou uma nota sobre seu teorema proposto em um livro que estava lendo, alegando saber como prová-lo, sem fornecer todos os detalhes. Os matemáticos buscaram resolver o problema sozinhos até a década de 1990, quando Andrew Wiles finalmente o provou usando novas técnicas descobertas centenas de anos após a morte de Fermat.
Mas é o “pequeno teorema” menos famoso de Fermat que se relaciona com os números de Carmichael. Aqui está uma maneira de afirmar isso:
Dado um número primo \(p\), então para qualquer número inteiro \(a\), a quantidade \(a^{p} – \ a\) é divisível por \(p\).
Por exemplo, pegue o primo \(p = 11\) e o número inteiro \(a = 2\). O pequeno teorema de Fermat diz que \(2^{11} – \ 2 = 2046\) é divisível por 11 e é: \(2046 \div 11 = 186\). Ou pegue \(p = 7\) e \(a = 4 : 4^{7} – \ 4 = 16380 = 7 \times 2340\), então \(4^{7} – \ 4\) é de fato divisível por \(7\).
Ao contrário do Último Teorema de Fermat, não foram necessários 300 anos para resolver seu pequeno teorema. Leonhard Euler publicou uma prova menos de um século depois. E porque se trata de números primos, as pessoas encontraram maneiras de usá-lo.
Demonstrando que o número não é primo
Uma maneira de usar o pequeno teorema de Fermat é mostrar que um número não é primo. Digamos que você está se perguntando se \(21\) é primo ou não. Se 21 fosse primo, então de acordo com o pequeno teorema de Fermat, para qualquer número inteiro \(a\), \(a^{21} – \ a\) teria que ser divisível por \(21\). Mas se você experimentar alguns valores de \(a\) você vê que isso não funciona. Por exemplo, \(2^{21} – \ 2 = 2097150\), que não é um múltiplo de \(21\). Portanto, por não satisfazer o pequeno teorema de Fermat, \(21\) não pode ser primo.
Isso pode parecer uma maneira de verificar se um número é primo. Afinal, sabemos \(21 = 3 \times 7\). Mas verificar se números grandes são primos é uma tarefa demorada e importante na matemática moderna, por isso os matemáticos estão sempre à procura de atalhos. Para esse fim, os matemáticos têm-se questionado se a recíproca do pequeno teorema de Fermat poderia ser verdadeira.
Qual é o inverso de um teorema? Você deve se lembrar da aula de matemática que um teorema pode ser pensado como uma declaração condicional da forma “se \(P\) então \(Q\)”. Um teorema diz que se a parte \(P\) (o antecedente ou hipótese) for verdadeira, então a parte \(Q\) (o consequente ou a conclusão) também deve ser verdadeira. O inverso de um teorema é uma afirmação que você obtém quando troca o antecedente e o consequente. Portanto, o inverso de “Se \(P\), então \(Q\)” é a afirmação “Se \(Q\), então \(P\)”.
Vamos considerar o teorema de Pitágoras. Muitas vezes nos dizem que \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\). Mas isso não está certo. O teorema de Pitágoras é na verdade uma afirmação condicional: diz que se um triângulo retângulo tem comprimentos laterais \(a\), \(b\) e \(c\), com \(c\) sendo o comprimento da hipotenusa, então \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\). Então, qual é o seu inverso? Diz que se o comprimento do lado de um triângulo \(a\), \(b\) e \(c\) satisfaz a proposta \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\), então é um triângulo retângulo.
A reciprocidade de um teorema é sempre verdadeira?
É tentador pensar que a reciprocidade de um teorema é sempre verdadeira, e muitos estudantes caíram nessa armadilha. A recíproca do teorema de Pitágoras é verdadeira, o que nos permite concluir que um triângulo com lados de comprimento \(9\), \(40\) e \(41\) deve ser um retângulo, pois \(9^{2} + 40^{2} = 41^{2}\). Mas o inverso de uma afirmação verdadeira não precisa ser verdadeiro: por exemplo, embora seja verdade que se \(x\) é um número positivo, então \(x^{2}\) é positivo, o inverso – se \(x^{2}\) é um número positivo, então \(x\) é positivo – não é, pois \((−1)^{2}\) é positivo, mas \(−1\) em si não é.
É uma boa prática matemática explorar o inverso de uma afirmação, e os matemáticos que buscam testes de primalidade queriam saber se o inverso do pequeno teorema de Fermat era verdadeiro. A recíproca diz que, dado um número inteiro \(q\), se o número \(a^{q} – \ a\) é divisível por \(q\) para qualquer número inteiro \(a\), então \(q\) deve ser um número primo. Se isso fosse verdade, evitaria parte do trabalho computacional pesado de verificar se \(q\) é divisível por quaisquer números diferentes de \(1\) e ele mesmo. Como tantas vezes acontece na matemática, esta questão levou a novas questões, que na última análise levou a algumas novas ideias matemáticas.
Explorando o inverso do pequeno teorema de Fermat
Quando você começar a explorar o inverso do pequeno teorema de Fermat, descobrirá que ele é verdadeiro para muitos números. Por exemplo, para qualquer inteiro \(a\), o número \(a^{2} – \ a\) é divisível por \(2\). Você pode ver isso fatorando \(a^{2} – \ a\) como \(a \times (a − \ 1)\). Desde \(a\) e \(a − 1\) são números inteiros consecutivos, um deles deve ser par e, portanto, seu produto deve ser divisível por \(2\).
Argumentos semelhantes mostram que \(a^{3} – \ a\) é sempre divisível por \(3\) e \(a^{5} − \ a\) é sempre divisível por \(5\). Portanto, o inverso do pequeno teorema de Fermat vale para \(3\) e \(5\). O inverso também nos diz o que esperamos para pequenos números não primos. Se usarmos para verificar se \(4\) é primo ou não, calculamos \(2^{4} – \ 2\) e observamos que \(14\) não é divisível por \(4\).
Na verdade, você pode verificar até o número \(561\) e tudo apontado para que o inverso do pequeno teorema de Fermat seja verdadeiro. Números primos menores que \(561\) dividem \(a^{p} – \ a\) para cada \(a\) e não primos menores que \(561\). Mas isso muda em \(561\). Com alguma teoria dos números avançados, pode-se mostrar que \(a^{561} – \ a\) é sempre divisível por \(561\), portanto, se a recíproca do pequeno teorema de Fermat fosse verdadeira, então \(561\) deveria ser primo. Mas isso não: \(561 = 3 \times 11 \times 17\). Portanto, a recíproca do pequeno teorema de Fermat é falsa.
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Os matemáticos chamam números como \(561\) de “pseudoprimos” porque satisfazem algumas condições associadas a serem primos (como dividir \(a^{p} – \ a\) para todos \(a\)), mas na verdade não são números primos. Foram encontrados mais contra-exemplos para o inverso do pequeno teorema de Fermat – os próximos três são \(1.105\), \(1.729\) e \(2.465\). Estes ficaram conhecidos como números de Carmichael, em homenagem ao matemático americano Robert Carmichael. Depois que foram descobertos, surgiram novas questões: Existem outras maneiras de identificar os números de Carmichael? Eles têm alguma outra propriedade especial? Existem infinitos deles? Se sim, com que frequência ocorre?
Construindo números de Carmichael muito distantes entre si
Foi esta última questão que chamou a atenção de Daniel Larsen. Os matemáticos provaram que havia de fato uma quantidade infinita de números de Carmichael, mas para mostrar isso tiveram que construir números de Carmichael muito distantes entre si. Isso deixou em aberto a questão de como esses infinitos números de Carmichael são distribuídos ao longo da reta numérica. Estão sempre distantes entre si pela sua natureza, ou poderão ocorrer com mais frequência e regularidade do que esta prova inicial mostrada?
Essas questões sobre os pseudoprimos lembram questões semelhantes e importantes sobre os próprios primos. Há dois mil anos, Euclides provou que existem infinitos números primos, mas demorou muito mais para entender como os primos são distribuídos ao longo da reta numérica. Nos anos 1800, o postulado de Bertrand mostrou que para qualquer \(n \gt 3\), sempre existe um número primo entre \(n\) e \(2n\). Isso nos dá uma ideia de que a frequência espera números primos à medida que avançamos ao longo da reta numérica.
Os matemáticos se perguntaram se alguma versão do postulado de Bertrand era verdadeira para os números de Carmichael. Daniel Larsen também se perguntou, e com base no trabalho de alguns matemáticos modernos famosos – os medalhistas Fields James Maynard e Terence Tao, entre outros – ele transformou sua curiosidade num novo resultado sobre como os números de Carmichael são distribuídos. E embora os jovens matemáticos provavelmente não devam esperar conseguir tanto ao fazer o dever de casa desta noite, o trabalho árduo, a perseverança e o sucesso de Daniel Larsen devem inspirá-los a seguir em frente, mesmo que estejam a provar novamente algo que já sabemos.
Conclusão
O Pequeno Teorema de Fermat é um resultado fundamental na teoria dos números, atribuído ao matemático francês Pierre de Fermat. Este teorema afirma que, se \(p\) é um número primo e \(a\) é um inteiro não divisível por \(p\), então \(a^{p – \ 1}\) é congruente a \(1\) módulo \(p\). Em termos mais simples, se \(p\) é um número primo, então para qualquer inteiro \(a\) que não seja múltiplo de \(p\), com \(a\) elevado à potência \(p – \ 1\) é sempre congruente a \(1\) quando dividido por \(p\).
O Pequeno Teorema de Fermat é útil em criptografia e teoria dos números, fornecendo uma base para testes de primalidade probabilísticos e sendo um componente crucial em algoritmos de criptografia, como o algoritmo RSA. Ele destaca a relação profunda entre propriedades aritméticas e estruturas fundamentais dos números primos.
