Números Reais e a Linha Numérica

12:58
14/07/2019

Construa uma linha numérica e gerar pontos nela; Use uma linha numérica para determinar a ordem dos números reais; Determinar o oposto de um número real; Determinar o valor absoluto de um número real.

OBJETIVOS DE APRENDIZADO

Definições

Um conjunto é uma coleção de objetos, normalmente agrupados em chaves {}, em que cada objeto é chamado de elemento. Por exemplo, {vermelho, verde, azul} é um conjunto de cores. Um subconjunto é um conjunto que consiste em elementos que pertencem a um determinado conjunto. Por exemplo, {verde, azul} é um subconjunto da cor definida acima. Um conjunto sem elementos é chamado conjunto vazio e possui sua própria notação especial, {} ou ∅.

Ao estudar matemática, nos concentramos em conjuntos especiais de números. O conjunto de números naturais (ou contados), denotado ℕ, é

${1, 2, 3, 4, 5, …}$ Números Naturais

Os três períodos (…) são chamados de reticências e indicam que os números continuam sem limite. O conjunto de números naturais, denotado ℕ é o conjunto de números naturais combinados com zero.

${0, 1, 2, 3, 4, 5, …}$ Números Naturais com zero

O conjunto de inteiros, denotado ℤ, consiste em números inteiros positivos e negativos, além de zero.

${…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}$ Números inteiros

Observe que os conjuntos de números naturais com zero e inteiros são ambos subconjuntos do Conjunto de inteiros.

Números racionais, denominados ℚ, são definidos como qualquer número na forma $\frac{a}{b}$, Onde $a$ e $b$ são inteiros e $b$ é diferente de zero. Decimais que repetem ou terminam são racionais. Por exemplo,

[latex]0,7=\frac { 7 }{ 10 } \quad e\quad 0,\bar { 3 } =\quad 0,3333…=\frac { 1 }{ 3 }[/latex]

O conjunto de inteiros é um subconjunto do conjunto de números racionais, porque cada inteiro pode ser expresso como uma razão entre o número inteiro e 1. Em outras palavras, qualquer número inteiro pode ser escrito sobre 1 e pode ser considerado um número racional. Por exemplo,

[latex]5 = \frac { 5 }{ 1 } \quad[/latex]

Números irracionais são definidos como qualquer número que não pode ser escrito como uma proporção de dois inteiros. Os decimais não terminantes que não se repetem são irracionais. Por exemplo,

[latex]\pi = 3,14159\quad e\quad \sqrt { 2 } =1,41421…[/latex]

O conjunto de números reais, denotado ℝ, é definido como o conjunto de todos os números racionais combinados com o conjunto de todos os números irracionais. Portanto, todos os números definidos até agora são subconjuntos do conjunto de números reais. Em suma,

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Linha Numérica

Uma linha numérica real, ou simplesmente linha numérica, nos permite exibir visualmente números reais associando-os a pontos únicos em uma linha. O número real associado a um ponto é chamado de coordenada. Um ponto na linha numérica real que está associada a uma coordenada é chamado seu gráfico.

Para construir uma linha numérica, desenhe uma linha horizontal com setas nas duas extremidades para indicar que ela continua sem limite. Em seguida, escolha qualquer ponto para representar o número zero; esse ponto é chamado de origem.

Marque comprimentos consistentes em ambos os lados da origem e marque cada marca para definir a escala. Os números reais positivos ficam à direita da origem e os números reais negativos ficam à esquerda. O número zero (0) não é positivo nem negativo. Normalmente, cada marca representa uma unidade.

Como ilustrado abaixo, a escala nem sempre precisa ser uma unidade. Na primeira linha numérica, cada marca representa duas unidades. No segundo, cada marca representa $\frac{1}{7}$.

O gráfico de cada número real é mostrado como um ponto no ponto apropriado na linha numérica. Um gráfico parcial do conjunto de inteiros ℤ segue:

Exemplo 1: represente o seguinte conjunto de números reais:

{−1,-⅓ , 0, 5/3}.

Solução:

Represente graficamente os números em uma linha numérica com uma escala em que cada marca de escala representa ⅓ unidade.

Encomenda de números reais

Ao comparar números reais em uma reta numérica, o maior número sempre estará à direita do menor. É claro que $15$ é maior que $5$, mas pode não ser tão claro ver que $−1$ é maior que $−5$ até representar graficamente cada número em uma reta numérica.

Usamos símbolos para nos ajudar a comunicar eficientemente as relações entre números na linha numérica. Os símbolos usados para descrever uma relação de igualdade entre os números são os seguintes:

$=$ é igual a

$≠$ é diferente de

$≈$ é aproximadamente igual a

Esses símbolos são usados e interpretados da seguinte maneira:

$5 = 5$ | $5$ é igual a $5$

$0 ≠ 5$ $0$ é diferente de $5$

$π ≈ 3,14$ pi é aproximadamente igual a $3,14$

Em seguida, definimos símbolos que denotam uma relação de ordem entre números reais.

$<$ Menor que

$>$ Maior que

$≤$ Menor ou igual a

$≥$ Maior ou igual a

Esses símbolos nos permitem comparar dois números. Por exemplo,

$−120 < −10$ | $120$ negativo é menor que $10$ negativo.

Como o gráfico de $−120$ está à esquerda do gráfico de $–10$ na linha numérica, esse número é menor que $−10$.

Poderíamos escrever uma declaração equivalente da seguinte forma:

$−10 > −120$ | $10$ negativo é maior que $120$ negativo.

Da mesma forma, como o gráfico de zero está à direita do gráfico de qualquer número negativo na linha numérica, zero é maior que qualquer número negativo.

$0 > −50$ | Zero é maior que o cinquenta negativo.

Os símbolos < e > são usados para denotar desigualdades estritas e os símbolos ≤ e ≥ são usados para denotar desigualdades inclusivas. Em algumas situações, mais de um símbolo pode ser aplicado corretamente. Por exemplo, as duas instruções a seguir são ambas verdadeiras:

$−10 < 0$ e $−10 ≤ 0$

Além disso, o componente “ou igual a” de uma desigualdade inclusiva nos permite escrever corretamente o seguinte:

$−10 ≤ −10$

O uso lógico da palavra “ou” requer que apenas uma das condições seja verdadeira: o “menor que” ou o “igual a”.

Exemplo 2: Preencha o espaço em branco com $<$, $=$ ou $>$:

$−2$ ____ $−12$.

Solução: Use $>$ porque o gráfico de $−2$ está à direita do gráfico de $−12$ em uma reta numérica. Portanto, $−2 > −12$, que diz “dois negativo é maior que doze negativo”.

Resposta: $−2 > −12$

Neste texto, muitas vezes apontamos a notação equivalente usada para expressar quantidades matemáticas eletronicamente usando os símbolos padrão disponíveis em um teclado. Começamos com a notação textual equivalente para desigualdades:

≤ “<= ”

≥ “>= ”

≠ “!= ”

Muitas calculadoras, sistemas de álgebra computacional e linguagens de programação usam essa notação.

OPOSTOS

O oposto de qualquer número real a é $−a$. Os números reais opostos são a mesma distância da origem em uma reta numérica, mas seus gráficos estão em lados opostos da origem e os números têm sinais opostos.

Por exemplo, dizemos que o oposto de $10$ é $−10$.

Em seguida, considere o oposto de um número negativo. Dado o inteiro $−7$, o inteiro com a mesma distância da origem e com o sinal oposto é $+7$, ou apenas $7$.

Portanto, dizemos que o oposto de $−7 $ é $− (−7) = 7$. Essa ideia leva ao que é frequentemente chamado de propriedade dupla negativa. Para qualquer número real $a$, $− (−a) = a$

Exemplo 3: Qual é o oposto de $-\frac{3}{4}$?

Solução: aqui aplicamos a propriedade dupla negativa.

[latex]-\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) =\quad \frac { 3 }{ 4 } [/latex]

Resposta: 3/4

Exemplo 4: Simplifique:

$− (− (4))$

Solução: Comece com os parênteses mais internos encontrando o oposto de $+4$.

$− (− (4)) = − (− (4))$

$= − (− 4)$

$= 4$

Resposta: $4$

Exemplo 5: Simplifique:

$− (− (− 2))$.

Solução: aplique a propriedade negativa dupla começando com os parênteses mais internos.

$−(− (−2)) = −(− (−2))$

$= − (2)$

$= −2$

Resposta: $−2$

DICA

Se houver um número par de sinais negativos consecutivos, o resultado é positivo. Se houver um número ímpar de sinais negativos consecutivos, o resultado será negativo.

Tente isso! Simplifique:

$− (− (− (5)))$.

Resposta: $−5$

Valor absoluto

O valor absoluto de um número real a, denotado |a|, é definida como a distância entre zero (a origem) e o gráfico desse número real na linha numérica. Como é uma distância, é sempre positivo.

Por exemplo,

$|−4| = 4$ e $|4| = 4$

Ambos 4 e −4 são quatro unidades da origem, como ilustrado abaixo:

Exemplo 6: Simplifique:

$|−12|$

$|12|$

Solução: Tanto $−12$ como $12$ são doze unidades da origem em uma reta numérica. Assim sendo,

$|−12| = 12$ e $|12| = 12$

Respostas: a. $12$; b. \(12)

Além disso, vale a pena notar que

$|0| = 0$

O valor absoluto pode ser expresso textualmente usando a notação $abs (a)$. Muitas vezes encontramos valores absolutos negativos, como $−|3|$ ou $−abs (3)$. Observe que o sinal negativo está na frente do símbolo de valor absoluto. Nesse caso, trabalhe primeiro o valor absoluto e depois encontre o oposto do resultado.

Tente não confundir isso com a propriedade duplo-negativo, que afirma que $−(−7) = +7$.

Exemplo 7: Simplifique:

$− |− (−7)|$.

Solução: Primeiro, encontre o oposto de $−7$ dentro do valor absoluto. Então encontre o oposto do resultado.

$−|−(−7)| = −|7|$

$= −7$

Resposta: $−7$

Neste ponto, podemos determinar quais números reais têm um valor absoluto particular. Por exemplo,

$|?| = 5$

Pense em um número real cuja distância até a origem é de 5 unidades. Existem duas soluções: a distância à direita da origem e a distância à esquerda da origem, ou seja, ${±5}$. O símbolo $(±)$ é lido “mais ou menos” e indica que há duas respostas, uma positiva e outra negativa.

|−5| = 5 e |5| = 5

Agora considere o seguinte:

$|?| = −5$

Aqui desejamos encontrar um valor para o qual a distância até a origem seja negativa. Como a distância negativa não é definida, esta equação não tem solução. Se uma equação não tem solução, dizemos que a solução é o conjunto vazio: Ø.

PRINCIPAIS DESCOBERTAS

Qualquer número real pode ser associado a um ponto em uma linha.
Crie uma linha numérica identificando primeiro a origem e marcando uma escala apropriada para o problema em questão.
Os números negativos ficam à esquerda da origem e os números positivos estão à direita.
Números menores sempre ficam à esquerda de números maiores na linha numérica.
O oposto de um número positivo é negativo e o oposto de um número negativo é positivo.
O valor absoluto de qualquer número real é sempre positivo porque é definido como sendo a distância de zero (a origem) em uma linha numérica.
O valor absoluto de zero é zero.

EXERCÍCIOS DE TÓPICOS

Resolva no seu caderno.

Parte A: números reais

Use definir notação para listar os elementos descritos.

As horas em um relógio.
Os dias da semana.
Os primeiros dez números inteiros.
Os primeiros dez números naturais.
Os primeiros cinco inteiros pares positivos.
Os primeiros cinco números inteiros positivos ímpares.

Determine se os seguintes números reais são inteiros, racionais ou irracionais.

½
−3
4,5
−5
0. ¯¯¯ 36
0.¯3
1.001000100001
1.¯¯¯¯¯¯ 001
e = 2,71828…
√7 = 2,645751…
−7
3,14
22/7
1,33
0
8.675.309

Verdadeiro ou falso.

Todos os inteiros são números racionais.
Todos os inteiros são números inteiros.
Todos os números racionais são números inteiros.
Alguns números irracionais são racionais.
Todos os números decimais terminados são racionais.
Todos os números irracionais são reais.

Parte B: Linha Numérica Real

Escolha uma escala apropriada e represente graficamente os seguintes conjuntos de números reais em uma linha numérica.

{−3, 0 3}
{−2, 2, 4, 6, 8, 10}
{−2, −1/ 3, 2/3, 5/3}
{−5/2, −1/2, 0, 1/2, 2}
{-5/7, 0, 2/7, 1}
{ −5, −2, −1, 0}
{-3,-2, 0, 2, 5}
{−2, 5, −1, 5, 0, 1, 2, 5}
{0, 0,3, 0,6, 0,9, 1,2}
{−10, 30, 50}
{−6, 0, 3, 9, 12}
{−15, −9, 0, 9, 15}

Parte C: Ordenação de números reais

Preencha o espaço em branco com <, = ou >.

-7 ___ 0
30 ___ 2
10 ___ -10
-150 ___ -75
-0,5 ___ -1,5
0 ___ 0
−500 ___ 200
−1 ___ −200
−10 ___ −10
−40 ___ −41

Verdadeiro ou falso.

5 ≠ 7
4 = 5
1 ≠ 1
−5 > −10
4 ≤ 4
− 12 ≥ 0
−10 = −10
3 > 3
−1000 < −20
0 = 0
Liste três inteiros menores que −5.
Liste três inteiros maiores que −10.
Liste três números racionais menores que zero.
Liste três números racionais maiores que zero.
Liste três inteiros entre −20 e −5.
Relacione três números racionais entre 0 e 1.

Traduza cada afirmação em uma sentença em português.

10 < 20
−50 ≤ −10
−4 ≠ 0
30 ≥ −1
0 = 0
e ≈ 2,718

Traduza o seguinte em uma declaração matemática.

Negativo sete é menor que zero.
Vinte e quatro não é igual a dez.
Zero é maior ou igual a negativo.
Quatro é maior ou igual a vinte e um negativos.
Negativo dois é igual a dois negativos.
Negativo dois mil é menor que mil negativo.

Parte D: Opostos

Simplificar.

−(−9)
−(−3/5)
−(10)
−(3)
−(5)
−(3/4)
−(−1)
−(−(−1))
−(−(1))
−(−(−3))
− (−(−(−11)))
Qual é o oposto de -½
Qual é o oposto de π?
Qual é o oposto −0,01?
O oposto de −12 é menor ou maior que −11?
O oposto de 7 é menor ou maior que −6?
Preencha o espaço em branco com <, = ou >.
−7 ___ −(−8)
6 ___−(6)
13 ___ −(−12)
−(−5) ___−(−2)
−100 ___ −(−(−50))
44 ___ −(−44)

Parte E: Valor Absoluto

Simplificar.

|20|
|-20|
|-33|
|-0,75|
∣-2/5∣
∣3/8∣
|0|
|1|
-|12|
-|-20|
-|20|
-|-8|
-|7|
-∣-3/16∣
-(-∣8/9∣)
|-(-2)|
-|-(-3)|
-(-|5|)
-(-|-45|)
-|-(-21)|
abs (6)
abs (−7)
−abs (5)
−abs (−19)
– (−abs (9))
−abs (- (- 12))

Determine o desconhecido.

|?| = 9
|?| = 15
|?| = 0
|?| = 1
|?| = −8
|?| = −20
|?| − 10 = −2
|?| + 5 = 14

Preencha o espaço em branco com <, = ou >.

|−2| ____ 0
|−7| ____ |−10|
−10 ____ −|−2|
|−6| ____ |−(−6)|
−|3| ____ −(−5)|
0 ____ −|−(−4)|

Parte F: Tópicos do quadro de discussão

Pesquise e discuta a história do número zero.
Pesquise e discuta os vários sistemas de numeração ao longo da história.
Pesquise e discuta a definição e história de π.
Pesquise a história dos números irracionais. Quem é creditado com a prova de que a raiz quadrada de 2 é irracional e o que aconteceu com ele?
Pesquise e discuta a história do valor absoluto.
Discuta a definição de valor absoluto “basta torná-la positiva”.

RESPOSTAS
1: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

3: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

5: {2, 4, 6, 8, 10}

7: Racional

9: Racional

11: Racional

13: Irracional

15: Irracional

17: Inteiro, Racional

19: Racional

21: Inteiro, Racional

23: verdadeiro

25: falso

27: verdadeiro

29:

31:

33:

35:

37:

39:

41: < 43: >

45: >

47: <

49: =

51: verdadeiro

53: falso

55: verdadeiro

57: verdadeiro

59: verdadeiro

61: −10, −7, −6 (as respostas podem variar)

63: −1, −2/3, −1/3 (as respostas podem variar)

65: −15, −10, −7 (as respostas podem variar)

67: Dez é menos que vinte.

69: Quatro negativo não é igual a zero.

71: Zero é igual a zero.

73: -7 < 0

75: 0 ≥ -1

77: -2 = -2

79: 9

81: −10

83: −5

85: 1

87: 1

89: 11

91: -π

93: maior

95: < 97: >

99: < 101: 20 103: 33 105: 2/5 107: 0 109: −12 111: −20 113: −7 115: 8/9 117: −3 119: 45 121: 6 123: −5 125: 9 127: ± 9 129: 0 131: Ø, sem solução 133: ± 8 135: >

137: <

139: <

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