Matemática na época da peste

Em tempos como o presente ─ com ouriços microscópicos de coronavírus em curto-circuito em nosso mundo como um enxame de gafanhotos (Figura  1 ); desintegrando nossas comunidades; ameaçando nossas famílias; lançando uma sombra sobre o presente para os mais velhos, sobre o futuro para os nossos jovens; imobilizando nossa economia; e preparado para desafiar as molas e engrenagens de nossa democracia ─ nossos pensamentos certamente mudaram de humor, se não de substância.

A taxa de desemprego anunciada de hoje (26 de julho de 2020) é um número que hesito em escrever. É prova suficiente de que alguns dos menos afortunados em nossa sociedade estão arcando com o fardo maior. Alguém se pergunta se isso é um fato em toda praga; quantos trabalhadores egípcios mal pagos foram danos colaterais na saraivada de dez vezes de conflito entre Deus e o Faraó?

Para desafiar tudo isso, devemos procurar o que podemos fazer pelo bem dos outros, mas também, poderíamos estar procurando algum modo de alívio. Por que não procuramos joias de estabilidade ─ em nossos pensamentos, expectativas, em nossas maneiras de compreender o mundo ─ e nos regozijamos com elas ─ mesmo as menores delas ─ como brilhos que firmam a robustez de nossas almas?

Nossas missões diárias mudaram drasticamente: os curandeiros estão na linha de frente, assim como aqueles que fornecem equipamentos para eles, assim como muitos nas ciências aplicadas ─ todos estes agora sentindo a responsabilidade urgente e, portanto, o esforço de produzir e de produzir rapidamente coisas úteis para lidar com esta crise.

Pais (e avós) tornaram-se professores do ensino doméstico. Estar limitado pela casca de uma casa e ainda explorar, na companhia de um aluno da primeira série, um mundo de pterossauros mesozóicos (um mundo totalmente desconhecido para mim até uma semana atrás) é emocionante, embora qualquer conexão metafórica com o igualmente desconhecido futuro deste mundo deve ser mantido sob controle.

Nossas formas de estar juntos foram transformadas: os teatros, é claro, estão fechados. Quanto às performances, bem, há leituras fixas de didascália das peças de Shakespeare, os atores na exibição da galeria Zoom, como Two Gentlemen of Verona com a assinatura “The Show Must Go OnLine.” Isso segue a boa tradição, em que o próprio Shakespeare parecia se adaptar bem à quarentena de praga após praga.1

Felizmente, ainda há, sempre há, música: a comida ─ sim, de amor ─ mas também, talvez agora, de conforto ─ talvez de nostalgia. Há as maravilhosas Songs of Comfort de Yo-Yo Ma em meio à crise global e bairros napolitanos cantando em harmonia, mas separados por suas varandas. Ou uma apresentação da serenata “Nessun Dorma” de Turandot para funcionários de um hospital no pátio de um hospital de Varsóvia.2

Certamente haverá arte (do tipo tradicional e, muito provavelmente, também de novas formas) emergindo e registrando nossa situação difícil, como ocorreu em pragas anteriores. A Figura  2 mostra “Autorretrato após a gripe espanhola”, de Edvard Munch, e muito mais sobre o assunto pode ser encontrado em uma pesquisa na Internet por “Drawing Lessons in Time of Plague“.

Nossa recepção de qualquer oferta imaginativa ─ literatura, música, arte ─ é moldada por nossas experiências mescladas com nossa própria imaginação. Não é de surpreender que uma pandemia possa nos impelir a uma mudança de tom de apreciação por eles. E mesmo objetos que têm o teimoso poder de permanência como habitantes mudos do mundo material ─ até eles mudam quando vistos em tempos de peste. Proust comenta em Time Regained: “Certas pessoas, cujas mentes são propensas ao mistério, acreditam que os objetos retêm algo dos olhos que os olharam.” Suponho que nossos olhares em meio a essa pandemia podem transformar ─ diante de nossos olhos ─ até mesmo o objeto mais robusto.

Talvez nosso senso de comunidade, talvez nossa ideia de justiça ─ e como o mecanismo da justiça deve ser protegido e, mais radicalmente, o que tudo isso significa ─ talvez tudo isso mude. Nosso reconhecimento do papel do governo em nossa vulnerabilidade comum já está mudando.

Panta rhei ─ todas as coisas mudam.

Bem, não exatamente.

Estou supondo ─ esperando ─ que todos os nossos interesses, e não importa a que nos devotemos, tenham sensibilidades essenciais, intocáveis ​​pela devastação externa. Essas joias de estabilidade. Poderia ser um exercício interessante, então, examinar o que eles são, para avaliar o quão valiosos eles são para nossos pensamentos e para nosso ser.

Em A Riqueza das Nações, Adam Smith escolhe o que chama de propensão na natureza humana: “a propensão a negociar, negociar e trocar uma coisa por outra”. Mas então Smith se afasta de afirmar isso como “um daqueles princípios originais da natureza humana”.

Procurando propensões mais firmemente enraizadas na natureza humana, não existe uma essência imperturbável, por exemplo, em nosso impulso para contar histórias? Como proclama Boccaccio no “Proema” que lança seus cem contos, esse impulso tem 

no todo ou em parte, o poder de atrair a mente para si mesma e desviá-la do pensamento perturbador, pelo menos por algum tempo, depois disso, de uma forma ou de outra, sobrevém o consolo ou então o aborrecimento diminui. ³ 

E mesmo por trás disso, há um impulso mimético primordial ─ o germe de qualquer forma de arte de acordo com Aristóteles. Este é um desejo que todos nós temos ─ de alguma forma, mesmo se exercido apenas em nossa imaginação; a própria reminiscência é o ato mimético mais primitivo. A maneira de expressar nosso instinto comum de recriar e projetar imagens ou experiências, ou emoções, é tão variada quanto a experiência humana, mas o próprio instinto essencial ─ de mimese ou re-apresentação ─ permanece “uma marca sempre fixa” e inabalável em todos nós.

E então, pensamento matemático. Como os conceitos matemáticos são peculiarmente firmes ─ sem falar em suas verdades.

Claro, como tudo o que nós, humanos, fazemos, a maneira como expressamos nossa matemática pode evoluir.

O vocabulário, o ambiente, a própria atitude em relação a essas atividades e a resposta emocional das pessoas a elas podem variar de geração para geração. Cardano exortou seus leitores do século XVI a “dispensar as torturas mentais” para que pudessem usar a raiz quadrada de −15 em uma computação específica, ao passo que, cerca de dois séculos depois, matemáticos, físicos e engenheiros saudariam os números complexos com deleite, em vez de angústia.

Mas e quanto ao nosso sentido primordial desses conceitos subjacentes? Não importa como você enquadre qualquer movimento do pensamento na matemática, por exemplo, construções como na geometria euclidiana ou na álgebra ou em qualquer teoria matemática, seu significado subjacente parece imune às vicissitudes mundanas.

Isso também vale para as construções mais elementares; pense na atividade de considerar duas vezes algo ─ seja você rotulá-lo de duas vezes ou deux fois (em francês), ou não dar a ele nenhum rótulo específico ─ o ato fundamental de conceber o dobro de uma quantidade, seja ele um número (formulado e denotado como você deseja formular ou denotam números) ou seja uma entidade geométrica, tem uma intenção e um significado inabaláveis. Este processo de duplicação, mesmo que você possa descartá-lo como extremamente simples, é um excelente exemplo de uma etapa matemática de pensamento, e compartilha ─ pelo menos para o propósito desta discussão ─ todas as qualidades essenciais de qualquer um dos menos facilmente apreendíveis atos da imaginação matemática.

Ou indo na direção contrária, considere o processo de reduzir pela metade. Euclides começa sua jornada através dos Elementos encontrando “metade” de um segmento de linha realizando dois movimentos de bússola (Figura  3), criando uma bissetriz perpendicular (apesar do fato de que em nenhum lugar de sua configuração axiomática haja qualquer indício de que dois círculos podem se cruzar).

Construções simples ainda mais simples do que essas ─ ou outras que dificilmente catalogamos como construções ─ sem mesmo depender de qualquer estrutura anterior clara ─ alojam-se em nossa imaginação; eles formam, de uma forma ou de outra, o que quero chamar de nossa sensibilidade matemática comum. É certo que essa sensibilidade é mais desenvolvida em certas pessoas do que em outras, mas acho que há uma qualidade imperturbável nela ─ e todos nós temos um pouco dela.

À medida que navegamos pelo mundo, não podemos deixar de colocar ordem (e encontrar ordem: padrões, ritmos, simetrias) em nossos pensamentos sobre os objetos ou idéias que encontramos. Isso ainda não é matemática. Só se torna assim quando damos aquele pequeno salto de nível e nos concentramos na ordem ou padrão ou ritmo ou simetria como uma coisa em si separada do objeto ou ideia para a qual era, inicialmente em nossos pensamentos, apenas uma propriedade.

Os exemplos que acabei de dar, dobrando e reduzindo pela metade ─ esses alicerces de pensamento extremamente primitivos ─ estão antes de qualquer uma das grandes construções do assunto. E antes da própria ideia de prova.

Certamente, temos sorte de ter provas matemáticas rigorosas. Ela modela e captura a qualidade essencial de qualquer argumento fundamentado que tem o cuidado de tornar transparentes as verdades previamente estipuladas nas quais esse argumento se baseia. Como é mágico que a ponta afiada da prova matemática muitas vezes alcance um acordo universal. Mas

• deixando de lado as grandes analogias matemáticas que ligam diferentes fontes de intuição, como geometria e álgebra,
• deixando de lado as várias atitudes em relação à natureza da matemática, atitudes que carregam os rótulos de platonismo, ou intuicionismo,
• deixando de lado a história das questões de auto-emaranhamento nos fundamentos da matemática,
• e mesmo ignorando, por enquanto, o peso que Kant coloca em sua grande questão de abertura na Crítica da Razão Pura, “Como a Matemática Pura é Possível”, estipulando sutilmente que a Matemática Pura é, de fato, possível. ⁴ 

existe, penso eu, uma sensibilidade matemática básica residindo em todos nós, expressa pelas muitas (muitas vezes despercebidas) expressões de nossos instintos matemáticos. Esses instintos, quase indescritíveis na linguagem, podem muito bem ser a base do que valorizamos no pensamento racional, instintos (pronoéticos, como meu filho Zeke costumava dizer) que parecem estar enraizados em tempos até antes do surgimento do próprio intelecto. No mínimo, essa capacidade, essa sensibilidade, não mudou ─ tenho certeza ─ desde as épocas mesmo antes dos dias em que os pitagóricos investigavam os triângulos. Existe uma firmeza universal até mesmo no pensamento matemático mais elementar que o faz parecer intocado pelo Tempo. E pela peste. Matemática é “omnitemporal”, para usar uma palavra latina que é uma forma de traduzir o mais agradável “Allzeitlich” de Edmund Husserl.⁵ Em nossa atual existência social de distanciamento, com escolas fechadas e onde as salas de aula do Zoom às vezes têm a sensação de reuniões na Câmara Municipal e às vezes a sensação de reuniões Quaker, essas novas “sensações” das salas de aula estão modificando a forma como ensinamos ─ o que significa. Existem muitas maneiras maravilhosas de ensinar ─ e aprender.⁶ 

Meus amigos muito próximos, Bob e Ellen Kaplan, deram aulas para crianças de 4 a 14 anos, chamadas de círculos de matemática.⁷ Os Kaplans realizaram essas aulas por décadas, mas as converteram para Zoom antes mesmo do surgimento do Covid-19. A maneira como Bob começa uma classe de crianças de quatro e cinco anos é entrar na sala de aula ─ agora a tela ─ e escrever com confiança em letras grandes:

1   2   3   5   6   7 …

Quando o número 7 for inscrito, alguma criança gritará: “Mas você se esqueceu do 4”. Bob vai bater na testa com a mão e proclamar: “Ah, sim, você está certo. É claro que há um número entre 3 e 5 ”, conforme ele insere um 4 no local apropriado. E sem perder um segundo acrescentará: “Mas certamente não há número entre 4 e 5.” Algumas crianças invariavelmente contra-atacam dizendo: “Tenho quatro anos e meio”, ponto em que a mão de Bob vai novamente para sua testa, enquanto ele corrige o segundo erro, revisando ainda mais sua linha numérica cada vez mais lotada. É nessa elegante abordagem da via negativa que, por uma série aparentemente interminável de erros de Bob corrigidos pelas crianças, muitos conceitos matemáticos são construídos e examinados, levando a outras questões.

Que poder de erro de iluminação possui! Aprender com o erro é um dos muitos prazeres diários que todos temos. Matemáticos, é claro, também ─ com o argumento indireto como uma incorporação sistematizada da matemática “aprendendo com o erro”.

Às vezes, ao tentar mostrar que certo algo dotado de características específicas não existe, os matemáticos, tendo vivido ─ talvez por anos ─ com tal objeto inexistente, e tendo estabelecido várias propriedades que teria se existisse, atribuem-lhe um nome adequado, mesmo que não tenha “habitação local”. Esses objetos conjecturalmente inexistentes, mas familiares, tornam-se animais de estimação ─ por assim dizer ─ destinados a serem mostrados como fogos-fátuos.

Por exemplo, os teóricos analíticos dos números falam sobre algo que chamam de fantasma zero, que, se existisse, teria consequências das quais deveríamos estar cientes; certamente não existe ─ mas ainda não sabemos disso. Eu pensaria que todos os matemáticos encontraram e viveram com algum desses objetos ─ ou talvez vários deles ─ tendo propriedades específicas (se existissem), mas em que a missão importante é mostrar a inexistência; que eles são de fato dignos de falar. (Vivi dia e noite por vários anos com pelo menos uma dessas criaturas que foi ─ décadas depois ─ feliz e finalmente mostrou não existir pela prova de Perelman da conjectura tridimensional de Poincaré.)

Como os matemáticos podem ajudar em nossa atual pandemia? Aqui ─ como sempre ─ há uma distinção crucial entre matemática pura e aplicada, sendo a última de importância crítica, um tesouro de, para usar a expressão de aparência humilde e acalentada de Benjamin Franklin, conhecimento útil.

Matemáticos aplicados foram pressionados a trabalhar; como todos nós somos gratos pela precisão dos estudos imunológicos e epidemiológicos ─ a coleta, classificação, classificação e interpretação dos dados. E para a formulação e calibração de modelos que ajudem a interpretar o que os dados querem nos dizer sobre o que aconteceu no passado e o que podemos esperar para o futuro.

Então, como os matemáticos puros podem ajudar? Além, é claro, de ensinar cálculo multivariável e teoria da probabilidade para uma futura geração de epidemiologistas e profissionais, e apenas educar em casa os filhos ou netos e manter contato com os alunos; geralmente, necessariamente, contato Zoom.

Quanto a esta nova época do Zoom, há muitos em nossa comunidade matemática ─ incluindo graduandos em matemática,⁸ alunos de pós-graduação e professores ─ que estão tomando a iniciativa de aproveitar este momento em que as aulas de matemática estão se expandindo em todo o mundo para projetar técnicas online fundamentais para acomodar este momento, onde os cursos padrão podem ter alcance internacional ─ como o de Ravi Vakil (atual versão online) curso de geometria algébrica (que tem mais de 1600 inscrições em todo o mundo).⁹ Mas os matemáticos teóricos também podem apenas tentar ser ouvintes atentos e engajados dos relatórios vindos de seus colegas que estão trabalhando em direções aplicadas. Pessoalmente, pretendo aprender um pouco sobre os mecanismos de previsão durante esta pandemia para compensar minha total falta de conhecimento ou experiência sobre o manuseio de dados em qualquer forma (e para qualquer finalidade).

Exposições extremamente boas estão disponíveis, as quais não assumem absolutamente nada em termos de conhecimento prévio e fazem com que você (mesmo se você seja um estranho extremo) seja capaz de ─ e de querer ─ cavar em dados relevantes, como dados sobre a evolução de cepas específicas de Covid-19.

Uma dessas exposições, mencionada a mim pela estatística Susan Holmes, é uma apresentação no YouTube de Pleuni Pennings, um pesquisador da San Francisco State University que estuda a evolução dos vírus, mas não o Covid-19. ¹⁰ Em sua apresentação, Pennings mostra como trabalhar com árvores evolutivas genéticas de Covid-19 desenvolvidas por Trevor Bedford, um biólogo evolucionário especialista em rastreamento de vírus, ¹¹ e a equipe do Seattle Flu Study que sequenciou o genoma da Covid-19. ¹² Ela explica como usar esse banco de dados online para rastrear uma mutação em um ponto do código genético do vírus enquanto ele viaja pelo estado de Washington e rastreia seus antecedentes na China.

Quando se trata de ler sobre modelos e previsões baseadas em modelos, sinto que, como um estranho, preciso de mais orientação para entendê-los do que geralmente estou disponível.

Por exemplo, em previsões que fornecem, digamos, uma estimativa (dentro de um intervalo de confiança de 95%) do intervalo de incerteza, ¹³ poderia (se o modelo usado para a previsão e as circunstâncias sobre os dados coletados não mudaram de maneira significativa no passado recente) ser útil para leitores não profissionais como eu se o acesso fácil às previsões anteriores também fosse oferecido, ou seja, fornecer informações sobre quão bem, nas previsões dadas em dias ou semanas anteriores, a faixa de incerteza projetada do modelo englobava os dados reais.

E os modelos contemporâneos são bastante complexos ─ não tão elementares quanto os primeiros modelos matemáticos da era moderna, como o delineado no ensaio de Thomas Malthus de 1798, An Essay on the Principle of Population. O modelo de Malthus tem duas variáveis ​​transparentes e nenhuma oculta. Estes são governados por seus dois postulados iniciais:

• Primeiro, esse alimento é necessário para a existência do homem.
• Em segundo lugar, que a paixão entre os sexos é necessária e permanecerá quase em seu estado atual.

O segundo postulado teria a população aumentando exponencialmente, enquanto o primeiro é o que atenua esse crescimento exponencial, levando à proliferação de curvas sigmóides (Figura  4) que dominam o sujeito ─ no jargão de hoje, é o agente que “achata a curva”. “População, quando desmarcada”, escreve Malthus,

aumenta em uma proporção geométrica. A subsistência aumenta apenas em uma proporção aritmética. Um leve conhecimento dos números mostrará a imensidão do primeiro poder em comparação com o segundo.

A pesquisa moderna não é tão simples assim; envolve a manipulação astuta dos modelos, ajuste de curva ─ usando os vários parâmetros permitidos por uma série de variáveis ​​ocultas, combinando, com um olho experiente, dados (de tamanhos de amostra diferentes) de fontes diferentes (com diferentes variações e margens de erro). ¹⁴

Quanto a “variações diferentes”, tome o parâmetro simples conhecido como, o número reprodutivo básico do vírus, caracterizando o número médio de casos secundários gerados por cada caso primário. Assim, se fossem iguais a 2, isso significaria que, em média, cada um de nós, quando infectado, infecta outros dois; isso seria uma má notícia, embora não pudesse continuar assim para sempre.

Este único número é mais ou menos informativo dependendo da homogeneidade da população. Se calcularmos a média de conglomerados de diferentes populações de diferentes níveis de idade, com diferentes níveis de suscetibilidade e ─ mais precisamente ─ diferentes práticas que produzem diferentes níveis de exposição a indivíduos para obter um único “número médio”, seria muito menos útil do que conceber uma hierarquia de análises separadas, cada uma focada em um segmento diferente da população, representando essas subpopulações mais homogeneidade interna e, talvez, uma variação significativamente menor nos dados. Alguém acabaria com uma hierarquia de valores que transmitiriam informações reais, um guia válido para uma possível ação ou previsão, mais informativo do que apenas um único número médio geral. Isso é sugerido no artigo “Modelando a heterogeneidade no número reprodutivo do COVID-19 e seu impacto nos cenários preditivos”, de Claire Donnat e Susan Holmes. 

Quer entendamos ou não os modelos, eles estão ao nosso redor. Os modelos organizam nossa vida por meio de estratagemas aprendidos com a máquina; eles nos dizem como proceder em uma atividade ou outra. Alguns desses modelos acionam ciclos de feedback de auto-reforço que nos dizem para fazer mais de uma determinada atividade se simplesmente já tivermos feito muitas delas. Um exemplo preocupante disso pode ser encontrado no software de policiamento preditivo PredPol, ¹⁶ que, mesmo de acordo com a empresa que o produziu, é baseado na previsão de terremotos e ─ de acordo com um estatístico (Kristian Lum) que o analisou ─ é “apenas uma média móvel”, ou seja, leva uma média de onde as prisões já ocorreu e manda a polícia voltar lá. Mas, nas palavras da empresa que o produziu, é

baseado em quase sete anos de pesquisa acadêmica detalhada sobre as causas da formação de padrões de crime … a matemática parece complicada ─ e é complicada para humanos mortais normais ─ mas os comportamentos nos quais a matemática se baseia são muito compreensíveis.

Isso por si só é uma conversa preocupante, alardeando um nível de incompreensibilidade da matemática de seu modelo ─ um modelo que incentiva a polícia a procurar pequenos crimes que podem passar despercebidos em outros bairros.

Felizmente, há movimentos pressionando por uma reforma real: que a polícia cumpra sua função principalmente como guardiã, e não como guerreira.¹⁷ E talvez inspirados por este tempo de peste, e ainda mais por protestos que ecoam internacionalmente, estamos no meio de uma chamada para uma reavaliação fundamental da forma como tratamos, ou ─ para colocá-lo um passo à frente ─ a sociedade trata, segmentos da humanidade.

Tempos de peste são tempos de todos os tipos de reavaliação. Conta a lenda que, durante a epidemia de cólera de 1848, o rabino Israel Salanter, o líder religioso e ético da comunidade judaica em Vilna, convocou publicamente sua comunidade a comer, e não a jejuar, no solene dia de jejum de Yom Kippur. Isso era para que sua comunidade não ficasse mais vulnerável à praga por um dia de jejum.¹⁸ O pináculo da santa observância representa a praga.

Não temos ideia de como as coisas irão evoluir, como nós mesmos seremos alterados. Em tal momento, podemos pelo menos ser gratos pelas ideias compartilhadas que nos sustentam, ideias que nos unem e pela solidez inabalável de certos pilares do pensamento.¹⁹

E podemos tentar trabalhar ─ de qualquer maneira que pudermos ─ em direção a uma comunidade global mais saudável (e mais justa!), Procurando o dia em que as previsões de pandemia que enfrentamos atualmente se tornem retrógradas e desta época de praga uma memória.

Notas

1. Na vida e na metáfora; veja o impressionante livro de Stephen Greenblatt “What Shakespeare Actually Wrote About the Plague”, New Yorker , 7 de maio de 2020.
2. Veja “Tenor move trabalhadores médicos da linha de frente às lágrimas com a poderosa Serenata de Nessun Dorma” em The First News ( www.thefirstnews.com ), 25 de maio de 2020.
3. Do Decameron de Giovanni Boccaccio. Tradução de John Payne, 1886.
4. E as consequências que ele tira disso.
5. O que está em ressonância com a discussão de Santo Agostinho nas Confissões sobre a perplexidade que se tem em compreender a relação de Deus com o tempo.
6. Se eu tivesse a chance de cutucar Mênon para aguçar a pergunta que dá início ao diálogo platônico que leva seu nome, teria sugerido que ele perguntasse: “Como posso aprender a virtude?”
7. Seus círculos de matemática já se propagaram por todo o mundo: consulte https://www.globalmathcircle.com.
8. Veja o artigo Harvard Crimson de 1º de julho de 2020, de Leo Alcock, estudante do segundo ano do curso de matemática em Harvard, “What I Learned from My First Lockdown”.
9. Veja o Projeto de Educação Online Aberta (OOEP) em ooep.org ; sua missão é expandir e melhorar a educação online e estender a amplitude e a profundidade dos recursos de cursos gratuitos em todo o mundo. Este projeto foi inspirado pelo OpenCourseWare de décadas do MIT.
10.  Disponível em https://www.youtube.com/watch?v=pg0wkFRBRt8.
11. Para trabalhar com a árvore evolutiva de sua equipe, consulte https://nextstrain.org/ncov/global.
12.  Consulte seattleflu.org.
13.  Como em, por exemplo, https://covid19.healthdata.org/united-states-of-america .
14.  Hoje, por exemplo, o NPR relatou o trabalho de Nicholas Reich, um bioestatístico da Universidade de Massachusetts, Amherst, que com seus colegas desenvolveu um método para fundir os diversos modelos de progressão de uma doença em uma projeção de “conjunto”:
    É uma espécie de portal através do qual os cientistas por trás de cada modelo COVID-19 podem comunicar detalhes importantes sobre sua metodologia e resultados, de modo que, como explica Reich, “todas essas previsões podem ser representadas de uma única forma padronizada. E isso torna muito fácil fazer comparações perfeitas entre esses modelos. ”
15.  Disponível em https://arxiv.org/pdf/2004.05272.pdf . Os autores lidam com dezenove grupos geográficos para avaliar a quantidade de variabilidade mostrada no número reprodutivo:
    • os seis países que relataram os números mais altos da epidemia na Europa (Itália, Espanha, França, Alemanha, Reino Unido e Suíça),
    • sete grupos na Ásia (Hong Kong, as províncias chinesas de Guizhou e Hubei, Cingapura, Tailândia, bem como Japão e Coreia do Sul),
    • Irã,
    • os Estados Unidos como um todo, bem como os estados da Califórnia, Washington e Nova York.
16. Consulte “Dezenas de Cidades Experimentaram Secretamente com Software de Policiamento Preditivo”, de Caroline Haskins, Motherboard, 2019.
17.  Consulte, por exemplo, https://www.policeone.com/research/articles/is-there-any-evidence-concerning-the-warriorguardian-debate-in-policing-y9hPZYjiBHXrY0cB.
18. A escola primária a que assisti foi Yeshiva Israel Salanter, no Bronx, que humanas do rabino Salanter Mussar sentimentos permeada-no meio de precisa, exigente e abrangente ritual religioso. O mantra de Salanter ─ junto com o padrão “ame ao próximo” ─ era o igualmente exigente “as necessidades materiais do meu próximo são minhas próprias necessidades espirituais”. Meus dias de escola em Salanter tinham uma eletricidade transcendental pela qual sou muito grato e continuo a me intrigar.
19. Até mesmo as joias matemáticas mais simples, como o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro, que Euclides encontrou no final de sua viagem aos Elementos.

Mazur, B. Math in the Time of Plague. Math Intelligencer 42, 1–6 (2020). https://doi.org/10.1007/s00283-020-10005-1