Diferentes concepções de álgebra

CONCEPÇÃO 1: ÁLGEBRA COMO ARITMÉTICA GENERALIZADA

Normalmente, a tarefa aqui envolve estender os padrões numéricos para incluir outros tipos de números, como os números negativos. Também inclui algumas declarações sobre relações numéricas e a tarefa é declará-las em forma simbólica, geralmente com uma variável. As principais instruções para o aluno nesta concepção de álgebra são traduzir e generalizar. Estas são habilidades importantes não apenas para álgebra, mas também para aritmética. O objetivo do professor para estas tarefas deve ser destacar os alunos e fazê-los ver que em álgebra o que estão a fazer é ser capaz de fazer uma afirmação geral sobre relações numéricas que já são conhecidas por eles. Por exemplo, uma generalização para um padrão numérico que relaciona o produto de um número e seu recíproco é $nx\times (\frac{1}{n})=1$.

Você pode querer ler meu post sobre Quando é álgebra, quando é aritmética?

CONCEPÇÃO 2: ÁLGEBRA COMO ESTUDO DE PROCEDIMENTOS PARA RESOLVER CERTOS TIPOS DE PROBLEMAS

Esta pode ser considerada a forma tradicional como a álgebra foi concebida no currículo. Esta é a época em que os livros didáticos terão classificações de problemas como problemas de mistura, problemas de distância, problemas de trabalho, problemas de idade, etc. Para cada tipo, espera-se que os alunos estudem os procedimentos para montar a equação e depois resolvê-la.

Por exemplo:

Quando 3 é adicionado a 5 vezes um determinado número, a soma é 40. Encontre o número.

O problema é traduzido como $5x+3=40$. Segundo Usiskin, no que diz respeito à concepção nº 1, isso já é álgebra. O problema foi traduzido para sua forma simbólica. No entanto, a concepção nº 2 é sobre procedimentos e resolução, portanto, é necessário encontrar o número desconhecido simbolizado por x usando um procedimento – adicionando -3 a ambos os lados e depois dividindo ambos os lados do sinal de igual por 5. Ao resolver estes tipos de problemas, muitos alunos têm dificuldade em passar da aritmética para a álgebra, de acordo com Usiskin. Enquanto a solução aritmética (“na sua cabeça”) envolve subtrair 3 e dividir por 5, a forma algébrica $5x+3$ envolve multiplicação por 5 e adição de 3, as operações inversas. Ou seja, para montar a equação, você deve pensar exatamente o oposto da forma como a resolveria usando a aritmética.

Observe a diferença entre o significado do símbolo da letra aqui e aquele na concepção #1. Aqui, o símbolo da letra representa incógnitas ou constantes. Enquanto as instruções principais no uso de uma variável como generalizador de padrões são traduzir e generalizar, as instruções principais neste uso são simplificar e resolver.

Concepção de álgebra vis-à-vis uso de variáveis ​​por Z. Usiskin

CONCEPÇÃO 3: ÁLGEBRA COMO ESTUDO DAS RELAÇÕES ENTRE QUANTIDADES

O foco aqui é a noção de função e a ideia de variável que varia. Usiskin argumentou que quando escrevemos $A=Lh$, a fórmula da área de um retângulo, estamos descrevendo uma relação entre três quantidades. Não há sensação de desconhecido, porque não estamos resolvendo nada. A sensação de fórmulas como A = Lh é diferente da sensação de generalizações como \(1 = n (\frac{1}{n}), embora possamos pensar em uma fórmula como um tipo especial de generalização.

Além disso, embora a concepção de álgebra como o estudo das relações possa começar com fórmulas, a distinção crucial entre esta e as concepções anteriores é que, aqui, as variáveis ​​variam. Que existe uma diferença fundamental entre as concepções é evidenciado pela resposta habitual dos alunos à seguinte questão:

O que acontece com o valor de 1/x à medida que $x$ fica cada vez maior?

A pergunta parece simples, mas é o suficiente para confundir a maioria dos estudantes. Ele não pede um valor de $x$, então $x$ não é desconhecido. Não pede ao aluno para traduzir. Existe um padrão para generalizar, sim, mas não é um padrão que se pareça com aritmética.

Quando a função é o foco do estudo da álgebra, Fey e Good (1985, p. 48) propuseram as seguintes questões-chave nas quais basear o estudo da álgebra:

Para uma determinada função $f(x)$, encontre:

1. $f(x)$ para $x=a$;
2. $x$ de modo que $f(x)=a$;
3. $x$ para que ocorram valores máximos ou mínimos de $f(x)$;
4. a taxa de mudança em $f$ perto de $x=a$;
5. o valor médio de $f$ no intervalo ($a,b$).

Usiskin esclareceu ainda que sob esta concepção, uma variável é um argumento (ou seja, representa um valor de domínio de uma função) ou um parâmetro (ou seja, representa um número do qual outros números dependem). Somente nesta concepção existem as noções de variável independente e variável dependente.

CONCEPÇÃO 4: ÁLGEBRA COMO ESTUDO DE ESTRUTURAS

Não falamos aqui de estruturas algébricas em matemática universitária. Aqui reconhecemos a álgebra como o estudo de estruturas em termos das propriedades que atribuímos às operações com números reais e polinômios. Considere o seguinte problema:

Fatore $3x^2+4ax–132a^2$.

A concepção de variável aqui representada não é a mesma discutida anteriormente. Não existe função ou relação; a variável não é um argumento. Não há nenhuma equação a ser resolvida, então a variável não está agindo como uma incógnita. Não há padrão aritmético para generalizar.

A resposta à questão da fatoração é $(3x+22a)(x–6a)$. A resposta poderia ser verificada substituindo os valores de x e a no polinômio dado e na resposta fatorada, mas isso quase nunca é feito. Se a fatoração fosse verificada dessa forma, haveria um argumento de que aqui estamos generalizando a aritmética. Mas, na verdade, geralmente é pedido ao aluno que verifique multiplicando os binômios, exatamente o mesmo procedimento que o aluno empregou para obter a resposta em primeiro lugar. É tolice verificar repetindo o processo usado para obter a resposta em primeiro lugar, mas neste tipo de problema os alunos tendem a tratar as variáveis ​​como marcas no papel, sem números como referência. Na concepção da álgebra como estudo de estruturas, a variável é pouco mais que um símbolo arbitrário.

Se estivermos conscientes destas diferentes concepções de álgebra e, com isso, do significado particular da variável em cada uma, então talvez possamos planear melhor as nossas aulas, sabendo o que os alunos precisam de enfrentar na aprendizagem da álgebra.

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